Calculadora de vectores
Suma y resta vectores, halla el módulo, el vector unitario, el producto escalar, el producto vectorial, el ángulo entre dos vectores y la proyección de uno sobre otro, en 2D o 3D, con el desarrollo del determinante a la vista.
Escrito por Suhaib Hassan. Cada fórmula es álgebra vectorial estándar, y los ejemplos resueltos se vuelven a deducir a mano. Nuestra metodología.
Combina las componentes directamente: sumas de productos para el producto escalar, un determinante 3×3 para el producto vectorial y el arccos del producto escalar normalizado para el ángulo.
La física y los gráficos usan estas operaciones constantemente. Ver los vectores dibujados y el álgebra desarrollada facilita detectar errores de signo y de orden.
—
Diagrama de vectores
Vectores dibujados desde el origen; los vectores 3D usan una proyección oblicua.
Desarrollo paso a paso
—
Las operaciones con vectores de un vistazo
Qué devuelve cada producto y qué significa.
| Operación | Notación | Resultado | Dimensiones | Significado |
|---|---|---|---|---|
| Producto escalar | u · v | Escalar | Cualquiera (2D, 3D, n-D) | Trabajo realizado; cuán alineados están dos vectores |
| Producto vectorial | u × v | Vector | 3D (y 7D) | Momento de fuerza, momento angular, normales a superficies |
| Proyección escalar | compv u | Escalar | Cualquiera | Longitud de la sombra de u sobre v |
| Proyección vectorial | projv u | Vector | Cualquiera | La parte de u paralela a v |
| Producto mixto | u · (v × w) | Escalar | 3D | Volumen con signo de un paralelepípedo |
Ejemplos resueltos
Trabajo realizado por una fuerza
Una fuerza F = (10, 0, 5) N desplaza un objeto d = (3, 4, 0) m.
Momento de fuerza sobre una llave
Posición r = (0,5, 0, 0) m, fuerza F = (0, 20, 0) N.
= (0, 0, 10) N·m
Ángulo entre vectores
u = (3, 4, 0) y v = (1, 2, 2).
cos θ = 11 ÷ 15 = 0,7333
θ = 42,8334°
¿Qué es un vector?
Un vector tiene módulo y dirección, y se escribe mediante sus componentes, como u = (3, 4, 0). Su módulo es |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²), y al dividir entre él se obtiene el vector unitario û = u ÷ |u|, de longitud 1.
Fórmulas utilizadas
- Producto escalar: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v| cos θ.
- Ángulo: θ = arccos[(u · v) ÷ (|u||v|)], entre 0° y 180°.
- Producto vectorial: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ); su longitud |u||v| sen θ es el área del paralelogramo que forman.
- Proyección: projv u = [(u · v) ÷ |v|²] v y compv u = (u · v) ÷ |v|.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Gibbs, J. W. & Wilson, E. B. (1901). Vector Analysis. Yale University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics — notation for vectors and their products.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el producto escalar es un escalar y el producto vectorial es un vector?
El producto escalar mide cuánto apuntan dos vectores en el mismo sentido, y eso es un único número. El producto vectorial genera un nuevo vector perpendicular a ambos, cuya longitud es el área del paralelogramo que forman. En 2D no hay dirección perpendicular dentro del plano, así que el producto vectorial se reduce a un número (la componente z).
¿Qué significa que el producto escalar sea cero?
Los vectores son perpendiculares (ortogonales), siempre que ninguno sea el vector nulo, porque cos 90° = 0. Un producto escalar negativo indica que el ángulo es obtuso; uno positivo, que es agudo.
¿Qué significa que el producto vectorial sea cero?
Los vectores son paralelos o antiparalelos (o uno de ellos es nulo), porque sen 0° = sen 180° = 0. No forman ningún área.
¿Cómo fija la regla de la mano derecha la dirección del producto vectorial?
Apunta los dedos de la mano derecha en la dirección de u, dóblalos hacia v y tu pulgar apuntará en la dirección de u × v. Invertir el orden invierte el sentido: v × u = −(u × v).
¿Cuál es la diferencia entre proyección escalar y proyección vectorial?
La proyección escalar es la longitud con signo de la sombra de u sobre v. La proyección vectorial es esa longitud orientada en la dirección de v. La diferencia u − projv u es la parte de u perpendicular a v.
¿Por qué el producto vectorial solo existe en 3D?
La construcción necesita una dirección única perpendicular a otras dos dadas, que solo existe en tres dimensiones (y, con un álgebra distinta, en siete). En otras dimensiones lo generaliza el producto exterior.
Calculadoras relacionadas
Continúa con la geometría.