Calculadora del teorema de Pitágoras
Halla la hipotenusa o un cateto faltante de un triángulo rectángulo, mide la distancia entre dos puntos en 3D o comprueba si tres números enteros forman una terna pitagórica, con respuestas en radicales exactos, ángulos, área y cada paso a la vista.
Escrito por Suhaib Hassan. El teorema es la Proposición I.47 de Euclides y cada ejemplo resuelto se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
Eleva al cuadrado los lados conocidos, suma o resta y calcula la raíz cuadrada. Los resultados enteros se muestran como valores exactos y las demás raíces, como radicales simplificados como 6√2.
Una sola página para las cuatro tareas habituales: hipotenusa, cateto faltante, distancia 3D y comprobación de ternas, con la geometría dibujada a escala.
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Demostración geométrica: los cuadrados sobre los lados
Proposición I.47 de Euclides: el cuadrado sobre la hipotenusa tiene la misma área que los dos cuadrados sobre los catetos sumados.
Desarrollo paso a paso
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Triángulos rectángulos especiales
Triángulo 3-4-5 razón 3 : 4 : 5
La terna pitagórica más pequeña. Los constructores la usan para comprobar que una esquina está a escuadra: miden 3 a lo largo de un borde y 4 a lo largo del otro, y la diagonal debe medir exactamente 5 (o cualquier múltiplo, como 9-12-15).
Triángulo de 45°-45°-90° razón 1 : 1 : √2
La mitad de un cuadrado cortado por su diagonal. Los catetos son iguales y la hipotenusa es el cateto multiplicado por √2 (aproximadamente 1.4142).
Triángulo de 30°-60°-90° razón 1 : √3 : 2
La mitad de un triángulo equilátero. La hipotenusa es el doble del cateto más corto y el otro cateto es el cateto más corto por √3.
Fórmula de Euclides para ternas m > n > 0
Para números enteros m > n > 0, los números a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² siempre forman una terna. Si m y n son coprimos y de distinta paridad, la terna es primitiva.
Esto aplica el teorema dos veces: primero a lo largo del suelo y luego a lo alto.
Ejemplos resueltos
Escuadrar una cimentación
Al marcar un rectángulo de 3 m por 4 m, la diagonal debe medir exactamente 5 m si la esquina es un ángulo recto perfecto.
Una diagonal que se desvíe incluso 2 cm significa que la esquina no está a escuadra.
Tamaño de pantalla
Un televisor 16:9 tiene una diagonal de 55 pulgadas. ¿Cuáles son su ancho y su alto?
ancho = 55 × 16 ÷ 18.358 = 47.94 in
alto = 55 × 9 ÷ 18.358 = 26.96 in
Distancia 3D
Dos puntos, (1, 2, 3) y (4, 6, 15).
d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Un número entero, porque (3, 4, 12, 13) es una cuádrupla pitagórica.
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, los catetos: a² + b² = c². Es un caso particular de la ley de los cosenos, en el que el término −2ab·cos C desaparece porque cos 90° = 0.
Cómo usarla
- Hipotenusa: c = √(a² + b²).
- Cateto faltante: a = √(c² − b²), y la hipotenusa debe ser el lado más largo.
- Ángulos: tan α = a ÷ b, por lo que α = arctan(a ÷ b) y el otro ángulo agudo es 90° − α.
- Área y radios: área = ½ab; inradio = (a + b − c) ÷ 2; circunradio = c ÷ 2.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Euclides, Elementos, Libro I, Proposición 47 (el teorema de Pitágoras) y Proposición 48 (su recíproco).
- Maor, E. (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a² + b² = c² solo funciona en triángulos rectángulos?
La regla general es la ley de los cosenos, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Para un ángulo recto, cos 90° = 0 y el último término desaparece. Para un ángulo agudo, c² es menor que a² + b²; para un ángulo obtuso, es mayor.
¿Qué es una terna pitagórica primitiva?
Un conjunto de números enteros (a, b, c) con a² + b² = c² cuyo máximo común divisor es 1, como 3-4-5 o 5-12-13. Los múltiplos como 6-8-10 siguen siendo ternas, pero no primitivas.
¿Cómo hallo la distancia entre dos puntos en 3D?
Eleva al cuadrado las diferencias en x, y y z, súmalas y calcula la raíz cuadrada. Es el teorema de Pitágoras aplicado dos veces, y también da la diagonal espacial de una caja con aristas Δx, Δy y Δz.
¿Qué significa una respuesta en radical exacto como 6√2?
Cuando el número bajo la raíz no es un cuadrado perfecto, la raíz es irracional. Se puede simplificar extrayendo los factores cuadrados: √72 = √(36 × 2) = 6√2, que equivale a unos 8.4853. La forma exacta evita el redondeo.
¿Puede la hipotenusa ser más corta que un cateto?
No. La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo, porque c² = a² + b² es mayor que a² o que b². Al resolver un cateto, la hipotenusa que introduzcas debe ser mayor que el cateto conocido.
¿Funciona con cualquier unidad?
Sí, siempre que todos los lados usen la misma unidad. El resultado está en esa unidad; las áreas, en unidades cuadradas. El panel de equivalencias de unidades convierte la respuesta a otras longitudes comunes.
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