Calculadora de distancia 3D
Calcula la distancia entre dos puntos en el espacio 3D, la distancia de un punto a un plano, la longitud de un vector o las dimensiones de una caja delimitadora, con el punto medio, la forma radical exacta, los ángulos directores y otras medidas de distancia (Manhattan, Chebyshov, Minkowski).
Escrito por Suhaib Hassan. Las fórmulas son geometría analítica estándar, y cada ejemplo resuelto se ha vuelto a deducir a mano. Nuestra metodología.
Resta las coordenadas, eleva al cuadrado y suma las diferencias, y extrae la raíz cuadrada; las formas de número entero y de radical simplificado se obtienen con exactitud.
La distancia 3D es el teorema de Pitágoras aplicado dos veces. Esta página muestra ese desarrollo y las medidas relacionadas que se usan en gráficos, robótica y CAD.
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Diagrama 3D
Proyección oblicua con la caja delimitadora de los dos puntos.
Desarrollo paso a paso
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Comparación de métricas de distancia
Distintas formas de medir «a qué distancia», mostradas para el desplazamiento (Δx, Δy, Δz) = (1, 2, 3).
| Métrico | Fórmula | Trayectoria | Valor para (1, 2, 3) | Se usa en |
|---|---|---|---|---|
| Euclídea (L²) | √(Δx² + Δy² + Δz²) | Línea recta | √14 ≈ 3.7417 | Física, gráficos, CAD |
| Manhattan (L¹) | |Δx| + |Δy| + |Δz| | Solo a lo largo de los ejes | 6 | Rutas en cuadrícula, trayectos en almacenes |
| Chebyshov (L∞) | max(|Δx|, |Δy|, |Δz|) | Movimientos independientes por eje | 3 | Máquinas de pórtico, rey de ajedrez |
| Minkowski (p = 3) | (|Δx|³ + |Δy|³ + |Δz|³)^(1/3) | Generalizada | 36^(1/3) ≈ 3.3019 | Aprendizaje automático, agrupamiento |
Ejemplos resueltos
Dos aeronaves
Posiciones (1, 2, 3) y (5, 6, 9) km.
d² = 16 + 16 + 36 = 68
d = √68 = 2√17 ≈ 8.2462 km
Diagonal de una caja
El objeto recto más largo que cabe en una caja de 3 × 4 × 12 cm.
Punto a plano
Distancia desde (1, 2, 3) al plano 2x − y + 2z − 4 = 0.
= 2 ÷ 3 = 0.6667
¿Qué es la distancia 3D?
La distancia en línea recta entre (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) es d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]. Resulta de aplicar el teorema de Pitágoras dos veces: primero sobre el suelo (Δx, Δy) y después a lo largo de la altura (Δz).
Distancia de un punto a un plano
Para un plano Ax + By + Cz + D = 0 y un punto (x₀, y₀, z₀), la distancia más corta es |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| ÷ √(A² + B² + C²). El pie de la perpendicular es el punto menos la distancia con signo multiplicada por el vector normal unitario.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Euclides, Elementos, Libro XI: fundamentos de la geometría de sólidos y de la proyección espacial ortogonal.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
- NIST Special Publication 811, Guide for the Use of the International System of Units (SI): unidades de longitud.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia la distancia 3D de la distancia 2D?
En 2D se usa √(Δx² + Δy²). En 3D se añade un tercer término Δz² bajo la raíz. Geométricamente, la distancia 2D pasa a ser un cateto de un triángulo rectángulo cuyo otro cateto es la diferencia de altura.
¿Cuál es la diferencia entre la distancia euclidiana y la de Manhattan?
La distancia euclídea es la longitud en línea recta, «a vuelo de pájaro». La distancia de Manhattan suma las diferencias absolutas de las coordenadas, es decir, la longitud de un camino que solo se mueve a lo largo de los ejes, como las calles de una cuadrícula. La de Manhattan nunca es más corta que la euclídea.
¿Qué son los cosenos directores?
Son los cosenos de los ángulos que forma el desplazamiento con los ejes x, y y z: cos α = Δx ÷ d, cos β = Δy ÷ d, cos γ = Δz ÷ d. Siempre cumplen cos²α + cos²β + cos²γ = 1 y dan el vector unitario a lo largo de la recta.
¿Cuáles son las coordenadas esféricas de un desplazamiento?
La distancia r = d, el acimut θ = atan2(Δy, Δx) medido en el plano xy, y el ángulo polar φ = arccos(Δz ÷ d) medido desde el eje +z.
¿Qué pasa si la ecuación del plano se introduce como ax + by + cz = k?
Pasa k al lado izquierdo: introduce D = −k. Por ejemplo, 2x − y + 2z = 4 se convierte en A = 2, B = −1, C = 2, D = −4.
¿Importa la unidad?
No, siempre que todas las coordenadas usen la misma unidad. El cuadro de unidad es solo una etiqueta que se copia en los resultados; la aritmética no depende de la unidad.
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