Calculadora de sucesiones
Halla el n-ésimo término y la suma parcial de una sucesión aritmética o geométrica, calcula con exactitud números de Fibonacci o de Lucas para n enorme, o resuelve una recurrencia lineal personalizada de orden 2, con la fórmula explícita y cada paso a la vista.
Escrito por Suhaib Hassan. Cada fórmula se vuelve a deducir y se comprueba a mano. Nuestra metodología.
Las sucesiones aritméticas y geométricas usan directamente sus fórmulas cerradas; Fibonacci/Lucas y las recurrencias personalizadas usan duplicación rápida / exponenciación de matrices con BigInt exacto, de modo que incluso el término 1000 es exacto, no aproximado.
Muestra la fórmula cerrada explícita junto con la definición recursiva, para que veas cómo una implica la otra.
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Primeros términos de la sucesión
La trayectoria de aₙ a medida que n aumenta.
Desarrollo paso a paso
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Fórmulas de sucesiones de un vistazo
Las identidades fundamentales de cada modo.
| Sucesión | n-ésimo término | Suma de los primeros n términos |
|---|---|---|
| Aritmética | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) |
| Geométrica (r ≠ 1) | aₙ = a₁·rn−1 | Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) |
| Fibonacci | Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ | F₀=0, F₁=1 |
| Lucas | Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂ | L₀=2, L₁=1 |
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es una lista ordenada de números a₁, a₂, a₃, … generada por una regla. Una sucesión aritmética suma una cantidad fija en cada paso; una sucesión geométrica multiplica por una razón fija; los números de Fibonacci y de Lucas se definen de forma recursiva, y cada término es la suma de los dos anteriores.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 29 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics (2.ª ed.). Addison-Wesley, capítulo 6.
- Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley-Interscience.
- ISO 80000-2:2019, cláusula 4 (notación de sucesiones y series).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie?
Una sucesión es la lista ordenada de términos en sí (a₁, a₂, a₃, …). Una serie es la suma de esos términos (a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ). La "suma parcial" de esta calculadora es la serie formada por los primeros n términos de la sucesión.
¿Cuándo converge una serie geométrica cuando n → ∞?
Exactamente cuando |r| < 1. La suma infinita es entonces igual a a₁ / (1 − r). Si |r| ≥ 1, los términos no se reducen a cero y la suma diverge (crece sin límite u oscila).
¿Cómo se calculan con exactitud números de Fibonacci enormes?
Mediante duplicación rápida: identidades como F(2k) = F(k)·[2F(k+1) − F(k)] permiten calcular F(n) en aproximadamente log₂(n) pasos con enteros grandes en lugar de n sumas, y la aritmética BigInt mantiene exactas todas las cifras, por grande que sea el número.
¿Qué relación tiene la razón áurea con los números de Fibonacci?
El cociente de números de Fibonacci consecutivos Fₙ₊₁/Fₙ converge a la razón áurea φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339887 a medida que n crece; esta calculadora muestra con qué rapidez se estabiliza ese cociente.
¿Qué significa aquí una "recurrencia personalizada"?
Una recurrencia lineal de segundo orden aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂, definida por dos valores iniciales y dos coeficientes. Fibonacci (p=q=1, valores iniciales 0,1) y Lucas (p=q=1, valores iniciales 2,1) son casos particulares; al cambiar p, q o los valores iniciales se obtienen otras familias conocidas, como los números de Pell (p=2, q=1).
¿Puede n ser muy grande?
Sí: los términos aritméticos y geométricos se calculan al instante para cualquier n; Fibonacci, Lucas y las recurrencias personalizadas usan aritmética BigInt exacta hasta n = 5000, calculada con duplicación rápida o exponenciación de matrices en lugar de un lento bucle término a término.
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