Calculadora de MCD y MCM
Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos enteros o de una lista completa, con el algoritmo de Euclides paso a paso, factorizaciones en primos, una prueba de coprimalidad y la identidad de Bézout.
Escrito por Suhaib Hassan. Los algoritmos son los de Euclides y cada ejemplo resuelto se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
Ejecuta el algoritmo de la división de Euclides con enteros de tamaño arbitrario, luego obtiene el mcm a partir de mcd(a, b) · mcm(a, b) = |a · b| y los coeficientes de Bézout con el algoritmo extendido.
Muestra lado a lado la vía rápida (Euclides) y la intuitiva (factores primos compartidos), para que ambas puedan contrastarse entre sí.
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Factores primos compartidos y separados
La parte común se multiplica para dar el MCD; todo junto se multiplica para dar el mcm.
Algoritmo de Euclides
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| Paso | División | Cociente | Resto |
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Desarrollo paso a paso
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Identidades que conviene recordar
Resultados clave sobre máximos comunes divisores y mínimos comunes múltiplos.
| Identidad | Enunciado | Nota |
|---|---|---|
| Algoritmo euclidiano | mcd(a, b) = mcd(b, a mod b) | Como máximo unas 5 × el número de dígitos del menor de los números, en pasos |
| Identidad de Bézout | ax + by = mcd(a, b) | Siempre existen soluciones x, y en los enteros |
| Dualidad del producto | mcd(a, b) · mcm(a, b) = |a · b| | Se cumple para dos números, no para tres o más |
| Exponentes de los primos | min(eₐ, e_b) para el mcd, max para el mcm | Compara los exponentes de cada primo |
| Asociatividad | mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) | Reduce una lista por pares |
| Coprimos | mcd(a, b) = 1 | Sin factores primos compartidos |
Ejemplos resueltos
Embaldosar un suelo
¿Cuál es la baldosa cuadrada más grande que cubre exactamente un suelo de 12 × 18?
Las baldosas son de 6 × 6, y (12 ÷ 6) × (18 ÷ 6) = 6 baldosas
Horario de autobuses
Dos rutas salen de una estación cada 12 y cada 18 minutos. ¿Cuándo vuelven a salir juntas?
Dientes de engranaje
Dos engranajes con 19 y 30 dientes son coprimos. ¿Cuánto tarda en coincidir de nuevo el mismo par de dientes?
mcm = 19 × 30 = 570 dientes: cada diente engrana con todos los demás, repartiendo el desgaste de manera uniforme
¿Qué son el MCD y el mcm?
El máximo común divisor (MCD) de dos enteros es el mayor entero que divide a ambos. El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor entero positivo que ambos dividen. Se usan para simplificar fracciones, para sumar fracciones (el mcm de los denominadores) y para sincronizar ciclos repetitivos.
Dos métodos
- Factorización en primos: escribe cada número como producto de primos. El MCD toma el menor exponente de cada primo compartido; el mcm toma el mayor exponente de cada primo presente.
- Algoritmo de Euclides: sustituye repetidamente (a, b) por (b, a mod b) hasta que el resto sea 0; el último resto distinto de cero es el MCD. Es mucho más rápido con números grandes, porque nunca necesita factorizar.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Euclides, Elementos, Libro VII, Proposiciones 1–2, y Libro X: el algoritmo de la división euclidiana.
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: factorización única en primos.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2, 3.ª ed., sección 4.5.2 (el máximo común divisor).
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Preguntas frecuentes
¿Se cumple mcd(a, b) · mcm(a, b) = a · b para tres o más números?
No. La identidad del producto solo es cierta para dos números. Para una lista, el MCD se calcula tomando repetidamente el mcd del resultado acumulado con el siguiente número, y el mcm de la misma forma. Para 4, 6 y 10: mcd = 2 y mcm = 60, pero 2 × 60 = 120 mientras que 4 × 6 × 10 = 240.
¿Qué pasa si uno o ambos valores de entrada son cero?
mcd(a, 0) = |a| porque todo número divide a 0. mcd(0, 0) es 0 por convención. El mcm con 0 es 0 por convención. Las entradas negativas dan los mismos resultados que sus valores absolutos.
¿Por qué el algoritmo de Euclides es mucho más rápido que la factorización?
Cada división reduce al menos a la mitad el número mayor cada dos pasos, por lo que necesita como máximo unos log₂(min(a, b)) × 2 pasos. Para factorizar números grandes no se conoce un método comparablemente rápido, y por eso la criptografía RSA se apoya en que es difícil.
¿Para qué sirve la identidad de Bézout?
Garantiza la existencia de enteros x e y con ax + by = mcd(a, b). Cuando mcd(a, b) = 1, x es el inverso modular de a módulo b, que es como RSA calcula una clave privada a partir de un exponente público.
¿Cómo uso el MCD para simplificar una fracción?
Divide el numerador y el denominador entre su MCD. Para 48/180, mcd = 12, así que 48/180 = 4/15. Si el MCD es 1, la fracción ya está en su mínima expresión.
¿Qué significa «coprimo»?
Dos enteros son coprimos (primos entre sí) cuando su único divisor positivo común es 1, es decir, mcd = 1. No tienen por qué ser primos ellos mismos: 8 y 15 son coprimos. Un conjunto es coprimo por pares si cada par que contiene es coprimo.
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