Verificador de números primos
Comprueba si un número es primo, consulta su factorización completa en primos y los primos vecinos más cercanos, criba todos los primos de un rango o prueba la primalidad de un número de Mersenne 2ᵖ − 1 con el test de Lucas–Lehmer.
Escrito por Suhaib Hassan. Todos los algoritmos son estándar y se verifican de forma independiente. Nuestra metodología.
La primalidad usa un test de Miller–Rabin determinista (exacto, no probabilístico, para todo entero menor que 2⁶⁴); la factorización usa división por tanteo; los números de Mersenne usan el test de Lucas–Lehmer.
Muestra las pruebas de divisibilidad reales y las iteraciones de Lucas–Lehmer, no solo una respuesta de sí o no.
—
Primos cercanos a n
Brechas entre primos alrededor del candidato.
Desarrollo paso a paso
—
Ejemplos resueltos
Un primo muy conocido
¿Es 104,729 primo?
Sí: es el primo número 10,000
Un número de Carmichael
¿Es 561 primo?
No: es compuesto, aunque, como es bien sabido, supera el test de Fermat más simple para cualquier base
Un primo de Mersenne
¿Es 2¹³ − 1 = 8191 primo?
Sí: 8191 es primo
¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número entero mayor que 1 con exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Cualquier otro entero mayor que 1 es compuesto y, según el Teorema Fundamental de la Aritmética, todo número compuesto se factoriza de forma única en primos.
Cómo funcionan los tests
- División por tanteo: prueba la divisibilidad entre todos los enteros hasta √n; si ninguno divide exactamente, n es primo.
- Miller–Rabin (determinista aquí): un test de primalidad rápido que, con un conjunto fijo y demostrado de bases testigo, da una respuesta exacta de sí o no para cualquier n menor que 2⁶⁴, sin aleatoriedad ni incertidumbre.
- Lucas–Lehmer: para números de Mersenne Mₚ = 2ᵖ − 1 con p primo, itera s ← s² − 2 (mod Mₚ) a partir de s = 4; Mₚ es primo exactamente cuando el resultado es 0 tras p − 2 pasos.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 29 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Pomerance, C., Selfridge, J. L., & Wagstaff, S. S. (1980). The pseudoprimes to 25·10⁹. Mathematics of Computation 35(151), 1003–1026.
- Crandall, R., & Pomerance, C. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2.ª ed.). Springer, capítulos 3–4 (Miller–Rabin, Lucas–Lehmer).
- ISO 80000-2:2019, cláusula 6 (notación de teoría de números).
Preguntas frecuentes
¿Es 1 un número primo?
No. Por definición, un primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos; el 1 solo tiene uno (él mismo), por lo que no se clasifica ni como primo ni como compuesto.
¿Por qué la división por tanteo solo necesita comprobar hasta √n?
Si n = a × b con a ≤ b, entonces a ≤ √n. Así, si no se encuentra ningún divisor hasta √n, tampoco puede existir ninguno por encima de √n: todo número compuesto tiene al menos un factor menor o igual que su raíz cuadrada.
¿Qué hace que los números de Carmichael sean difíciles?
Un número de Carmichael es compuesto, pero cumple el pequeño teorema de Fermat para toda base coprima con él, de modo que el test de primalidad de Fermat simple lo declara primo por error. Miller–Rabin con testigos adecuados lo identifica correctamente como compuesto.
¿Qué es un primo de Mersenne?
Un primo de la forma 2ᵖ − 1. Es necesario que p sea primo (condición necesaria pero no suficiente); por ejemplo, 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto aunque 11 sea primo. Casi todos los mayores primos conocidos hoy son primos de Mersenne, hallados mediante el test de Lucas–Lehmer.
¿Cuántos números primos hay?
Infinitos. Lo demostró Euclides hacia el 300 a. C.: si se supone una lista finita de primos y se multiplican todos y se suma 1, siempre se obtiene un número con un factor primo que no está en la lista, lo cual es una contradicción.
¿Por qué son importantes los números primos en criptografía?
El cifrado RSA se basa en que multiplicar dos primos grandes es rápido, pero volver a factorizar su producto en esos primos es computacionalmente difícil; esta asimetría es lo que mantiene seguro el cifrado.
Calculadoras relacionadas
Sigue con teoría de números.