Calculadora de factorial
Calcula n! de forma exacta, además de factoriales dobles y múltiples, subfactoriales y factoriales fraccionarios mediante la función Gamma, con ceros finales, factorización en primos, número de dígitos y cuánto se acerca la aproximación de Stirling.
Escrito por Suhaib Hassan. Las identidades son teoría de números y análisis estándar, y cada ejemplo resuelto se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
Multiplica con enteros de tamaño arbitrario, así que no hay desbordamiento en 170!. Los exponentes de los primos salen de la fórmula de Legendre y la función Gamma, de una aproximación de Lanczos.
Los factoriales crecen a una velocidad asombrosa. Esta página muestra el valor exacto, su tamaño y por qué funcionan las aproximaciones.
—
Qué tan rápido crecen los factoriales
log₁₀ de n! (azul) frente a la aproximación de Stirling (naranja) y eⁿ (gris, discontinua). Los factoriales superan a cualquier exponencial.
Desarrollo paso a paso
—
Referencia de la familia de factoriales
Funciones relacionadas, con valores para n = 10.
| Función | Notación | Definición | Valor para n = 10 | Se usa para |
|---|---|---|---|---|
| Factorial | n! | n·(n−1)·…·2·1, 0! = 1 | 3,628,800 | Permutaciones, series |
| Factorial doble | n!! | n·(n−2)·(n−4)·… | 3,840 | Integrales, volúmenes esféricos |
| Subfactorial | !n | n!·Σ(−1)ᵏ/k! | 1,334,961 | Desarreglos (sin puntos fijos) |
| Función Gamma | Γ(z) | ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt | Γ(11) = 3,628,800 | Factoriales fraccionarios, estadística |
| Factorial descendente | (n)ₖ | n!/(n−k)! | (10)₃ = 720 | Selecciones ordenadas |
Ejemplos resueltos
Barajar un mazo
¿Cuántos órdenes posibles tiene una baraja de 52 cartas?
68 dígitos, muchísimo más que el número de segundos transcurridos desde el Big Bang, así que una baraja bien barajada casi con seguridad queda en un orden nunca visto.
Ceros finales de 100!
¿Cuántos ceros terminan 100! ?
(siempre hay más factores 2 que factores 5)
Factorial fraccionario
¿Cuánto es (½)! ?
= 0.886227
¿Qué es un factorial?
El factorial n! es el producto de todos los números enteros de 1 a n, con 0! = 1 por convención (hay exactamente una manera de ordenar la nada). Cuenta las formas de ordenar n objetos distintos y crece más rápido que cualquier exponencial: 10! = 3,628,800 y 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸.
Datos útiles
- Ceros finales (Legendre): el número de factores de un primo p en n! es Σ ⌊n/pᵏ⌋. Los ceros equivalen al número de factores 5.
- Aproximación de Stirling: n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, con un error relativo de aproximadamente 1/(12n).
- Refinamiento de Ramanujan: n! ≈ √π (n/e)ⁿ (8n³ + 4n² + n + 1/30)^(1/6), mucho más preciso.
- Función Gamma: Γ(n + 1) = n!, que extiende los factoriales a los números reales y complejos.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, capítulo 5 (función Gamma), incluida la sección 5.11 sobre desarrollos asintóticos.
- Stirling, J. (1730). Methodus Differentialis. Londres.
- Legendre, A.-M. (1808). Essai sur la théorie des nombres, 2.ª ed. París: la fórmula de los exponentes de los primos.
- Euler, L. (1729). Carta a Goldbach sobre la interpolación de los factoriales: origen de la función Gamma.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 0! es igual a 1?
Porque hay exactamente una manera de ordenar cero objetos (no hacer nada) y porque así se mantiene cierta la recurrencia n! = n · (n − 1)! en n = 1 (1 = 1 · 0!). También hace que fórmulas como C(n, 0) = n! ÷ (0! n!) = 1 funcionen.
¿Cómo cuenta la fórmula de Legendre los ceros finales sin multiplicarlo todo?
Cada cero final necesita un factor 10 = 2 × 5. Los factores 2 abundan más que los 5, así que los ceros equivalen al número de factores 5 en n!. Los múltiplos de 5 aportan uno cada uno, los de 25 uno más, los de 125 uno más, y así sucesivamente: Σ ⌊n/5ᵏ⌋.
¿Cuál es la diferencia entre la fórmula de Stirling y la corrección de Ramanujan?
El término principal de Stirling subestima n! en aproximadamente 1/(12n) en términos relativos (0.83% en n = 10). La versión de Ramanujan añade un término cúbico bajo una raíz sexta, lo que reduce el error relativo a cerca de 9 × 10⁻⁸ en n = 10 (menos del 0.00001%).
¿Cómo evita esta calculadora el desbordamiento?
El punto flotante ordinario de 64 bits se desborda en 171! (alrededor de 10³⁰⁸). Esta página usa enteros de tamaño arbitrario para obtener resultados exactos hasta 3,000!, y logaritmos para las comparaciones con Stirling, de modo que nada se desborda.
¿El factorial doble (n!!) es el factorial de un factorial?
No. n!! multiplica un número de cada dos hacia abajo desde n (10!! = 10 · 8 · 6 · 4 · 2 = 3,840). El factorial de un factorial sería (n!)!, que es astronómicamente mayor.
¿Puedo calcular el factorial de un número negativo o de una fracción?
No con la definición para números enteros. La función Gamma lo extiende a todos los números reales excepto los enteros negativos, donde tiene polos: (−1)!, (−2)!, … no están definidos. Usa la pestaña Gamma para valores fraccionarios.
Calculadoras relacionadas
Sigue con conteo.