Calculadora de probabilidad binomial
Calcula la probabilidad exacta de k éxitos en n ensayos independientes (P(X = k), P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k) y P(X > k)), con la media, la varianza y la forma de la distribución, un histograma de probabilidad y cada paso del desarrollo.
Escrito por Suhaib Hassan. La fórmula y cada ejemplo resuelto se han vuelto a deducir a mano. Nuestra metodología.
Evalúa C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ usando logaritmos de factoriales, de modo que un n grande no se desborda, y suma términos para los resultados acumulados.
Las tablas de los libros de texto se quedan en n pequeños y redondean mucho. Esta calculadora ofrece todas las colas en un solo lugar y muestra la aritmética que hay detrás de la respuesta.
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Función de masa de probabilidad
La probabilidad de cada número posible de éxitos. Las barras del evento que pediste aparecen oscuras; la línea discontinua marca la media.
Desarrollo paso a paso
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Ecuaciones y condiciones
Las ecuaciones
Cuatro condiciones para un modelo binomial
- Número fijo de ensayos. n se fija de antemano.
- Dos resultados. Cada ensayo es un éxito o un fracaso.
- Probabilidad constante. p es la misma en cada ensayo.
- Independencia. El resultado de un ensayo no afecta al de otro.
Ejemplos resueltos
Cada uno usa sumas binomiales exactas, comprobadas a mano y reproducibles con los ejemplos predefinidos y los datos de arriba.
Inspección de lotes
Un lote tiene una tasa de defectos del 2 %. Un inspector prueba 50 unidades y rechaza el lote si más de 2 son defectuosas.
= 0.36417 + 0.37160 + 0.18580 = 0.92157
P(rechazo) = P(X > 2) = 0.0784
Respuesta clínica
Un tratamiento funciona en el 70 % de los pacientes. Entre 30 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 25 respondan?
P(X ≥ 25) = 0.0766 (aprox. 7,7 %)
Media = 21 pacientes que responden
Pérdida de paquetes
Cada uno de 64 paquetes se pierde de forma independiente con probabilidad 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que se pierdan más de 5?
P(X ≤ 5) = 0.89990
P(X > 5) = 0.1001 (aprox. 10,0 %)
¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes cuando cada ensayo tiene éxito con la misma probabilidad p. Ejemplos típicos son el número de caras al lanzar monedas, los artículos defectuosos en una muestra o los pacientes que responden a un tratamiento.
Cómo calcular una probabilidad binomial
- Calcula el coeficiente binomial C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!), el número de formas de elegir qué ensayos tienen éxito.
- Multiplica por pᵏ, la probabilidad de que esos k ensayos tengan todos éxito.
- Multiplica por (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, la probabilidad de que los demás ensayos fallen todos.
- Para una probabilidad acumulada, suma los términos del rango de valores de k que necesites.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.6.6.18 Binomial distribution
- Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
- ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre las distribuciones binomial e hipergeométrica?
El modelo binomial supone ensayos independientes con una probabilidad constante, como en el muestreo con reemplazo o desde una población muy grande. La distribución hipergeométrica modela el muestreo sin reemplazo de una población finita, donde cada extracción cambia las probabilidades de la siguiente. Cuando la muestra es una fracción pequeña de la población (habitualmente menos del 5 %), la binomial es una buena aproximación.
¿Cuándo puedo usar una aproximación normal?
Una regla práctica habitual es que tanto np como n(1 − p) sean al menos 5 (algunos textos usan 10). Entonces X es aproximadamente normal con media np y desviación típica √(npq), normalmente con una corrección por continuidad de ±0,5. Esta calculadora da la respuesta exacta, así que no hace falta ninguna aproximación.
¿Cómo evita la calculadora el desbordamiento con n grande?
En lugar de multiplicar factoriales enormes, trabaja con el logaritmo del coeficiente binomial (usando la función log-gamma) y exponencia al final. El coeficiente exacto que se muestra en los pasos se calcula por separado con aritmética de enteros.
¿Qué ocurre cuando p es 0 o 1?
El resultado es seguro: si p = 0, todos los ensayos fallan, así que P(X = 0) = 1; si p = 1, todos los ensayos tienen éxito, así que P(X = n) = 1. La varianza es cero y la distribución es un único punto.
¿Cómo encuentro la probabilidad de al menos un éxito?
Usa el complemento: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Fija k = 1 y elige P(X ≥ k) para verlo directamente.
¿Y si mis ensayos no son independientes?
Entonces el modelo binomial no se aplica con exactitud. Según la situación, un modelo hipergeométrico u otro puede ser más adecuado. La independencia y una probabilidad constante son supuestos esenciales.
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