Calculadora de permutaciones y combinaciones (nPr y nCr)
Cuenta ordenaciones (el orden importa) y selecciones (el orden no importa), con o sin repetición. Los resultados son enteros exactos, por grandes que sean, con la cancelación de factoriales mostrada paso a paso.
Escrito por Suhaib Hassan. Las fórmulas de recuento son estándar y cada ejemplo se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
Usa aritmética de enteros de precisión arbitraria y multiplica solo los factores que no se cancelan, de modo que no hay redondeo ni desbordamiento aunque n esté en los cientos.
Elegir la fórmula equivocada es el error habitual. Una guía de decisión y un recuento comparado de los cuatro casos te ayudan a elegir bien.
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Numerador
Ordenaciones de r elementos
Factores cancelados
Permutación frente a combinación: ¿importa el orden?
Una permutación cuenta por separado cada ordenación distinta. Una combinación trata las ordenaciones de los mismos elementos como una sola selección, así que cada combinación corresponde a r! permutaciones.
Permutaciones el orden importa
Tres fichas A, B, C se pueden ordenar de 3! = 6 formas distintas:
Cada ordenación es un resultado distinto, como los puestos de oro, plata y bronce en una carrera.
Combinaciones el orden no importa
Los seis órdenes contienen las mismas tres fichas, así que se reducen a una sola combinación:
C(n, r) = P(n, r) ÷ r! — como elegir un comité, donde solo cuenta quién forma parte.
Desarrollo paso a paso
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Las cuatro fórmulas de recuento
Combinaciones sin repetición
Selecciones sin orden donde cada elemento se puede elegir como máximo una vez.
Permutaciones sin repetición
Ordenaciones sin reutilización: n opciones, luego n − 1, y así sucesivamente.
Combinaciones con repetición
Multiconjuntos de tamaño r de n tipos (el recuento de «estrellas y barras»), donde los elementos pueden repetirse y se ignora el orden.
Permutaciones con repetición
Secuencias ordenadas en las que cada una de las r posiciones puede ser, de forma independiente, cualquiera de los n símbolos.
¿Cuándo importa el orden?
Una guía rápida para elegir la fórmula correcta. Todos los recuentos son exactos.
| Escenario | ¿Importa el orden? | Fórmula | Planteamiento | Resultado exacto |
|---|---|---|---|---|
| Candado de taquilla, números distintos | Sí | P(n, r) | 3 números distintos del 0 al 39 | 59,280 |
| Lotería, elegir 6 | No | C(n, r) | 6 de 49 | 13,983,816 |
| Podio de una carrera | Sí | P(n, r) | Los 3 primeros de 8 velocistas | 336 |
| Ingredientes de pizza | No | C(n, r) | 3 ingredientes de 10 | 120 |
| Contraseña, los caracteres pueden repetirse | Sí | nʳ | 62 caracteres, 8 posiciones | 218,340,105,584,896 |
Ejemplos resueltos
Espacio de claves de una contraseña
Una contraseña de 8 caracteres con 26 minúsculas + 26 mayúsculas + 10 dígitos (62 símbolos), con repetición permitida.
log₂ = 8 × 5.954 ≈ 47.6 bits
Elección de un grupo de ensayo
Selecciona 20 participantes de un grupo de 100, sin importar el orden.
≈ 5.36 × 10²⁰ grupos posibles
Enlaces de una red en malla
¿Cuántos enlaces punto a punto unen 24 servidores de modo que cada par esté conectado?
¿Qué son las permutaciones y las combinaciones?
Las permutaciones y las combinaciones cuentan las formas de seleccionar elementos de un conjunto. Una permutación es una ordenación; una combinación es una selección sin orden. El factorial n! = n × (n − 1) × … × 1 subyace a ambas, con 0! definido como 1.
Cómo elegir la fórmula
- ¿El orden de los elementos elegidos crea un resultado distinto? Si es así, usa permutaciones; si no, usa combinaciones.
- ¿Se puede elegir el mismo elemento más de una vez? Si es así, usa las fórmulas «con repetición».
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, sección 26.3 (Lattice paths: binomial coefficients) y capítulo 26, Combinatorial Analysis.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3.ª ed. Addison-Wesley.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (notación de factoriales y coeficientes binomiales).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
Una permutación cuenta ordenaciones, así que (1, 2, 3) y (3, 2, 1) son distintas. Una combinación cuenta selecciones sin orden, así que son la misma. Como cada combinación de tamaño r se puede ordenar de r! formas, el número de permutaciones siempre es r! veces el número de combinaciones.
¿Por qué un «candado de combinación» es en realidad un candado de permutación?
Porque importa el orden en que introduces los dígitos: 1-2-3 lo abre, pero 3-2-1 no. En rigor es un recuento de secuencias ordenadas, así que usa fórmulas de permutación (con repetición si los dígitos se pueden reutilizar).
¿Cómo gestiona esta calculadora factoriales muy grandes?
Usa aritmética de enteros de precisión arbitraria, por lo que los resultados son exactos y no se redondean como en coma flotante. Los números de más de 18 dígitos se muestran en notación científica y «Copiar valor exacto» copia todos los dígitos.
¿Qué son «estrellas y barras»?
Es un método para contar combinaciones con repetición. Elegir r elementos de n tipos, con repeticiones permitidas y sin importar el orden, equivale a colocar r estrellas y n − 1 barras en fila, lo que da C(n + r − 1, r).
¿Qué es 0! y qué pasa si r = 0?
Por definición 0! = 1. Elegir cero elementos puede hacerse exactamente de una forma, así que C(n, 0) = P(n, 0) = 1, y n⁰ = 1.
¿Por qué r no puede superar n sin repetición?
No puedes elegir más elementos distintos de los que existen, así que el recuento es 0. La calculadora te pide introducir r ≤ n para las fórmulas sin repetición; si se permite la repetición, r puede ser mayor que n.
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Continúa con probabilidad y factoriales.