Calculadora de módulo
Calcula a mod n con el signo correcto para números negativos, comprueba una congruencia a ≡ b (mod n), halla un inverso modular o calcula con exactitud una exponenciación modular grande aᵇ mod n, con cada paso a la vista.
Escrito por Suhaib Hassan. Cada ejemplo resuelto se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
El módulo usa división exacta con BigInt; el inverso modular usa el algoritmo de Euclides extendido; la exponenciación usa exponenciación modular rápida (binaria), por lo que incluso los exponentes enormes se mantienen exactos y rápidos.
Los lenguajes de programación no coinciden en el signo de a % b con números negativos: aquí se muestran ambas convenciones lado a lado.
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Dónde cae a en la recta numérica módulo n
Se marca cada múltiplo de n; a se envuelve hasta su residuo en [0, n).
Desarrollo paso a paso
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Módulo con suelo frente a módulo truncado
Los lenguajes no coinciden en el signo del resultado cuando a es negativo.
| Convención | Fórmula | −7 mod 3 | Usada por |
|---|---|---|---|
| Con suelo (predeterminada de esta calculadora) | a − n·⌊a/n⌋ | 2 | Python %, matemáticas |
| Truncado | a − n·trunc(a/n) | −1 | C, Java, JavaScript % |
Ejemplos resueltos
Dividendo negativo
¿Cuánto es −7 mod 3?
−7 mod 3 = 2 (con suelo)
Congruencia
¿Es 17 ≡ 5 (mod 6)?
Sí: ambos lados dan el mismo resto
Inverso modular
Halla 3⁻¹ mod 11.
3⁻¹ ≡ 4 (mod 11)
Definiciones clave
- Módulo: a mod n es el resto que queda al dividir a entre n, con 0 ≤ (a mod n) < n para n > 0 según la convención con suelo.
- Congruencia: a ≡ b (mod n) significa que n divide exactamente a (a − b); es decir, a y b dejan el mismo resto.
- Inverso modular: a⁻¹ mod n es el valor x tal que a·x ≡ 1 (mod n); existe exactamente cuando mcd(a, n) = 1.
- Exponenciación modular: aᵇ mod n, calculada por elevaciones al cuadrado repetidas para que siga siendo rápida incluso con b enorme.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 29 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae, Article 1 (the definition of congruence).
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2 (3rd ed.), section 4.5.2 (the Euclidean algorithm and modular inverses).
- ISO/IEC 80000-2:2019, clause 9 (the floor function and integer division).
Preguntas frecuentes
¿Por qué −7 mod 3 es igual a 2 y no a −1?
Con la convención matemática (con suelo), el resultado de a mod n siempre tiene el mismo signo que n (aquí positivo), así que queda en [0, n). −7 = 3 × (−3) + 2, lo que da resto 2. Algunos lenguajes de programación truncan en cambio hacia cero y dan −1; esta calculadora muestra ambos.
¿Cuándo no existe el inverso modular?
Exactamente cuando mcd(a, n) ≠ 1, es decir, cuando a y n comparten un factor común. Por ejemplo, 4 no tiene inverso módulo 8, ya que mcd(4, 8) = 4.
¿Cómo se calcula aᵇ mod n para un exponente b enorme?
Mediante exponenciación rápida (binaria): se eleva al cuadrado a mod n repetidamente y se multiplican los factores correspondientes a los dígitos binarios de b, tomando el módulo en cada paso. Solo requiere unas log₂(b) multiplicaciones, así que incluso un exponente de 1000 dígitos se calcula al instante.
¿Para qué se usa la operación módulo?
Aritmética de relojes y calendarios, tablas hash, sumas de verificación, criptografía (RSA se basa en la exponenciación modular), generadores de números pseudoaleatorios y recorrido cíclico de índices de arreglos.
¿Está definido a mod 0?
No: la división entre cero no está definida, así que a mod 0 no tiene valor. Esta calculadora lo marca como error en lugar de devolver un resultado.
¿En qué se diferencia la congruencia de la igualdad?
La igualdad significa que dos números son idénticos. La congruencia módulo n es más débil: solo exige que dejen el mismo resto al dividirse entre n, de modo que infinitos números (…, b−n, b, b+n, b+2n, …) son todos congruentes con b.
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