Calculadora de polinomios
Divide polinomios (con una tabla de división sintética para divisores lineales), halla las raíces reales y complejas y la forma factorizada, suma, resta y multiplica, o evalúa P(x) con el método de Horner, con gráfica y todos los pasos.
Escrito por Suhaib Hassan. Los algoritmos son estándar y cada ejemplo resuelto se vuelve a deducir a mano. Nuestra metodología.
Analiza tu expresión para obtener los coeficientes, divide con el algoritmo clásico de la división larga, prueba las raíces racionales y luego refina el resto numéricamente (Durand–Kerner) para hallar todas las raíces complejas.
Muestra el procedimiento (la tabla de división sintética, la comprobación del teorema del resto y la forma factorizada), no solo la respuesta.
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Tabla de división sintética
Para un divisor x − c: baja el primer coeficiente, multiplícalo por c, súmalo al siguiente coeficiente y repite.
Gráfica de P(x)
Las raíces reales se marcan en verde; la intersección con el eje y, en oscuro.
Desarrollo paso a paso
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Qué método usar
Cuatro herramientas estándar para trabajar con polinomios.
| Método | Forma del divisor | Coste | Ideal para |
|---|---|---|---|
| División larga | Cualquier polinomio de grado menor | O(grado P · grado Q) | División general con resto |
| División sintética (Ruffini) | x − c (lineal mónico) | O(n) | División rápida y teorema del resto |
| Esquema de Horner | Evaluación en un punto | n multiplicaciones, n sumas | Evaluación eficiente y numéricamente estable |
| Teorema de las raíces racionales | p/q, p | a₀, q | aₙ | Lista finita de candidatos | Hallar raíces racionales exactas |
| Regla de los signos de Descartes | Cambios de signo en P(x), P(−x) | Solo cuenta | Acotar el número de raíces positivas y negativas |
Ejemplos resueltos
División sintética
Divide x³ − 6x² + 11x − 6 entre x − 2.
1 → −6+2 = −4 → 11−8 = 3 → −6+6 = 0
cociente x² − 4x + 3, resto 0
Teorema del resto
¿Cuál es el resto al dividir P(x) = x³ − 2x² + x − 5 entre x − 3?
Factorización
Factoriza por completo x³ − 6x² + 11x − 6.
x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
¿Qué es un polinomio?
Un polinomio es una suma de términos aₖxᵏ con potencias enteras no negativas, como 3x⁴ − 2x + 7. Su grado es la potencia más alta y el coeficiente principal es el coeficiente de ese término. El Teorema Fundamental del Álgebra establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, contando la multiplicidad, en los números complejos.
Teoremas clave
- Algoritmo de la división: P(x) = Q(x)·D(x) + R(x) con grado R < grado D.
- Teorema del resto: al dividir entre x − c, el resto es P(c).
- Teorema del factor: (x − c) divide exactamente a P(x) si y solo si P(c) = 0.
- Teorema de las raíces racionales: con coeficientes enteros, toda raíz racional p/q cumple que p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Horner, W. G. (1819). A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation. Philosophical Transactions of the Royal Society 109, 308–335.
- Gauss, C. F. (1799). Tesis doctoral, Helmstedt: la primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, sección 1.11 (Zeros of polynomials).
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo puedo usar la división sintética en lugar de la división larga?
Cuando el divisor es lineal, x − c (un factor lineal mónico). Solo necesita los coeficientes y c, y es más rápida y menos propensa a errores. Para un divisor como 2x − 6, divide primero los coeficientes entre 2 (2x − 6 = 2(x − 3)) o usa la división larga. Para divisores de grado 2 o más, usa la división larga.
¿Cómo reduce el esquema de Horner el número de operaciones?
Reescribe aₙxⁿ + … + a₀ como (…((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + …)x + a₀, de modo que solo necesita n multiplicaciones y n sumas en lugar de calcular cada potencia por separado. Además, es más preciso en aritmética de coma flotante.
¿Qué garantiza el Teorema Fundamental del Álgebra?
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja y, por tanto, exactamente n raíces contando la multiplicidad. Los polinomios reales pueden tener raíces complejas, pero estas aparecen en pares conjugados a ± bi.
¿Por qué las raíces complejas siempre aparecen en pares?
Si un polinomio tiene coeficientes reales y a + bi es una raíz, su conjugada a − bi también lo es, porque la conjugación conserva los coeficientes reales. Por eso las raíces no reales de los polinomios reales aparecen en pares conjugados.
¿Existe una fórmula para las raíces de cualquier polinomio?
Solo hasta el grado 4 (las fórmulas cuadrática, cúbica y cuártica). El teorema de Abel–Ruffini demuestra que no existe una fórmula algebraica general para el grado 5 o superior, por lo que hacen falta métodos numéricos, como los que se usan aquí.
¿Qué tan precisas son las raíces numéricas?
Las raíces se refinan hasta unas 12 cifras significativas. Las raíces repetidas y los grados muy altos están peor condicionados, por lo que sus valores calculados pueden ser algo menos precisos. Las raíces racionales exactas se encuentran primero, antes de cualquier cálculo numérico.
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