Calculadora de matrices (2×2)
Determinante, inversa, traza y traspuesta · multiplicación de dos matrices 2×2 · valores propios, vectores propios y polinomio característico · resolución de Ax = b con la regla de Cramer: cada paso y, cuando es exacta, también la forma racional.
Escrito por Suhaib Hassan. Cada ejemplo resuelto de abajo se vuelve a deducir a mano a partir de las fórmulas. Nuestra metodología.
El determinante y la inversa usan la fórmula estándar de la adjunta 2×2; los valores propios resuelven la ecuación característica cuadrática λ² − tr(A)λ + det(A) = 0; el solucionador de sistemas usa la regla de Cramer.
Las tareas de álgebra lineal y las comprobaciones rápidas de gráficos o ingeniería necesitan fracciones exactas, no solo decimales: esta calculadora muestra ambos.
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Efecto geométrico de A sobre el cuadrado unidad
Cómo A transforma los vectores de la base e₁ = (1, 0) y e₂ = (0, 1).
Desarrollo paso a paso
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Clases de matrices de un vistazo
Cómo puede comportarse una matriz 2×2.
| Clase | Condición | det(A) | Acción geométrica |
|---|---|---|---|
| No singular | rango(A) = 2 | ≠ 0 | Aplicación biyectiva; el área se escala por |det(A)| |
| Singular | rango(A) < 2 | = 0 | Colapsa el plano en una recta o en un punto |
| Ortogonal | AᵀA = I | ±1 | Movimiento rígido: una rotación o una reflexión |
| Simétrica | A = Aᵀ | — | Valores propios reales, vectores propios perpendiculares |
Ejemplos resueltos
Determinante e inversa
Para A = [[3, 2], [1, 4]], halla det(A) y A⁻¹.
A⁻¹ = (1/10)[[4, −2], [−1, 3]]
= [[0.4, −0.2], [−0.1, 0.3]]
Valores propios
Halla los valores propios de la misma matriz A.
λ² − 7λ + 10 = 0 → (λ − 5)(λ − 2) = 0
λ₁ = 5, λ₂ = 2
Regla de Cramer
Resuelve Ax = b para b = (8, 7) con la misma A.
x₂ = det([[3,8],[1,7]]) / det(A) = 13/10 = 1.3
x = (1.8, 1.3)
Fórmulas clave 2×2
- Determinante: det(A) = a·d − b·c para A = [[a, b], [c, d]].
- Inversa: A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]], definida solo cuando det(A) ≠ 0.
- Traza: tr(A) = a + d, la suma de los elementos de la diagonal.
- Polinomio característico: p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A); sus raíces son los valores propios.
- Regla de Cramer: para Ax = b, xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), donde Aᵢ sustituye la columna i de A por b.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Cayley, A. (1858). A memoir on the theory of matrices. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press. Chapters 4 & 6.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics, clause 11 (matrices).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa det(A) = 0?
Las filas (o columnas) de A son linealmente dependientes: una es un múltiplo escalar de la otra. La matriz no tiene inversa y transforma el plano en una recta o en un solo punto, en lugar de una región 2D completa.
¿Cómo compruebo que una inversa es correcta?
Multiplica A por la A⁻¹ calculada: el resultado debe ser la matriz identidad I = [[1, 0], [0, 1]], salvo redondeos. Esta calculadora hace esa comprobación por ti.
¿Puede una matriz 2×2 tener valores propios complejos?
Sí, siempre que el discriminante tr(A)² − 4·det(A) sea negativo, como ocurre con una matriz de rotación (con un ángulo que no sea múltiplo de 180°). Los valores propios forman entonces un par de conjugados complejos.
¿Por qué falla la regla de Cramer cuando det(A) = 0?
Porque divide entre det(A). Un sistema singular no tiene solución o tiene infinitas, y la regla de Cramer no puede distinguir esos casos; usa la reducción por filas en su lugar.
¿Qué te dicen los valores propios geométricamente?
En la dirección de cada vector propio, A actúa como un simple escalamiento por el valor propio correspondiente, sin rotación. Los valores propios reales significan que la transformación estira o invierte a lo largo de direcciones fijas; los complejos significan que incluye una rotación.
¿Es A⁻¹A siempre igual a AA⁻¹?
Sí, para una matriz cuadrada invertible, A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Es una propiedad especial de las matrices cuadradas; no se cumple en las no cuadradas, que como mucho tienen inversas por un solo lado.
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