Calculadora de la fórmula cuadrática
Resuelve ax² + bx + c = 0 para raíces reales y complejas, con el discriminante, la forma radical exacta, el vértice, el eje, el foco y la directriz de la parábola, las formas factorizada y vértice, una gráfica y todos los pasos del procedimiento.
Escrito por Suhaib Hassan. La fórmula cuadrática es álgebra estándar, y cada ejemplo resuelto se ha vuelto a deducir a mano. Nuestra metodología.
Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac, clasifica las raíces y simplifica las raíces cuadradas de números enteros en radicales exactos como (−5 ± √13) ÷ 2.
La mayoría de los solucionadores dan un decimal y se detienen. Este te muestra por qué las raíces son las que son: el discriminante, la parábola y la forma factorizada.
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Gráfica de la parábola
y = ax² + bx + c con sus raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen.
Desarrollo paso a paso
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Qué te dice el discriminante
El signo de Δ = b² − 4ac determina la naturaleza de las raíces.
| Discriminante | Raíces | Gráfica | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Δ > 0, cuadrado perfecto | Dos raíces racionales distintas | Corta el eje x dos veces | x² − 5x + 6 = 0 → 2, 3 |
| Δ > 0, no es cuadrado | Dos raíces irracionales distintas | Corta el eje x dos veces | x² − 2 = 0 → ±√2 |
| Δ = 0 | Una raíz real repetida | Toca el eje x en el vértice | x² − 6x + 9 = 0 → 3 |
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | Nunca corta el eje x | x² + 2x + 5 = 0 → −1 ± 2i |
Ejemplos resueltos
Altura de un proyectil
Se lanza una pelota hacia arriba a 20 m/s desde 1,5 m: h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. ¿Cuándo aterriza y qué altura alcanza?
aterrizaje: t = (20 + √429,4) ÷ 9,8 = 4,155 s
máximo en t = 20 ÷ 9,8 = 2,041 s, altura 21,908 m
Razón áurea
La razón áurea resuelve x² − x − 1 = 0.
x = (1 ± √5) ÷ 2
φ = 1,618034, la otra raíz es −0,618034
Raíces complejas
x² + 2x + 5 = 0.
x = (−2 ± 4i) ÷ 2
x = −1 ± 2i
¿Qué es la fórmula cuadrática?
Toda ecuación ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0 tiene como soluciones x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Se obtiene al completar el cuadrado en la ecuación general. La expresión bajo la raíz, Δ = b² − 4ac, es el discriminante.
La parábola detrás de la ecuación
- Vértice: (h, k) con h = −b ÷ 2a y k = c − b² ÷ 4a. Es el mínimo si a > 0 y el máximo si a < 0.
- Eje de simetría: x = h; las raíces se sitúan simétricamente a ambos lados.
- Foco y directriz: (h, k + 1 ÷ 4a) e y = k − 1 ÷ 4a.
- Formas: estándar ax² + bx + c; factorizada a(x − x₁)(x − x₂); vértice a(x − h)² + k.
Por Suhaib Hassan · Revisado el 28 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, sección 1.11 (Zeros of polynomials) y capítulo 1, Algebraic and Analytic Methods.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a = 0?
La ecuación deja de ser cuadrática: se convierte en bx + c = 0, una ecuación lineal con la única solución x = −c ÷ b (si b ≠ 0). La fórmula cuadrática divide entre 2a, por lo que no se puede usar. Esta calculadora te da en su lugar la solución lineal.
¿Cómo se ven las raíces complejas en una gráfica?
Cuando Δ < 0 la parábola no toca el eje x, por lo que no hay raíces reales. Las raíces complejas p ± qi tienen parte real p = −b ÷ 2a, que es el eje de simetría, y parte imaginaria q = √(−Δ) ÷ 2a, que mide a qué distancia está el vértice del eje.
¿Por qué la coordenada x del vértice es el punto medio de las raíces?
Las dos raíces son −b ÷ 2a ± √Δ ÷ 2a, así que su promedio es −b ÷ 2a, exactamente la coordenada x del vértice. Una parábola es simétrica respecto a su eje.
¿Cuál es la suma y el producto de las raíces?
Por las fórmulas de Vieta, x₁ + x₂ = −b ÷ a y x₁ · x₂ = c ÷ a. Te permiten comprobar tus respuestas: para x² − 5x + 6, las raíces 2 y 3 suman 5 y su producto es 6.
¿Cuándo debo usar la factorización o completar el cuadrado en su lugar?
La factorización es lo más rápido cuando las raíces son enteros o fracciones sencillas. Completar el cuadrado permite deducir la fórmula y obtener la forma vértice. La fórmula cuadrática siempre funciona, sean cuales sean los coeficientes.
¿Pueden los coeficientes ser decimales o fracciones?
Sí. Introduce los decimales directamente. Las formas radicales exactas se muestran cuando los coeficientes son enteros; en caso contrario obtienes raíces decimales precisas.
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