Calculadora de números complejos
Suma, resta, multiplica o divide dos números complejos; halla el módulo, el argumento, el conjugado y la forma polar de uno; o calcula potencias enteras y raíces n-ésimas con el teorema de De Moivre, con una gráfica en el plano complejo y cada paso a la vista.
Escrito por Suhaib Hassan. Cada identidad se ha vuelto a deducir a mano. Nuestra metodología.
La aritmética usa las reglas algebraicas estándar (i² = −1); las potencias y las raíces usan el teorema de De Moivre sobre la forma polar, r(cos θ + i sen θ).
Representa cada número en el plano de Argand, de modo que la geometría que hay detrás del álgebra nunca queda oculta.
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Plano de Argand
Cada número representado como un punto (Re, Im).
Desarrollo paso a paso
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Ejemplos resueltos
Multiplicación
(3+4i) × (1−2i)
= 11 − 2i
Módulo y argumento
Halla |3+4i| y Arg(3+4i).
θ = atan2(4,3) ≈ 53.13°
Potencia de De Moivre
(1+i)⁸
(1+i)⁸ = 16
Fórmulas clave
- Multiplicación: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.
- División: multiplica por el conjugado: z₁/z₂ = z₁z̄₂ / |z₂|².
- Módulo: |z| = √(a²+b²). Argumento: θ = atan2(b, a), en (−π, π].
- Teorema de De Moivre: [r(cos θ + i sen θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ).
- Raíces n-ésimas: ⁿ√z tiene n valores, en los ángulos (θ+2πk)/n para k = 0, …, n−1, cada uno con módulo |z|^(1/n).
Por Suhaib Hassan · Revisado el 29 de septiembre de 2026 · Cómo verifica CalculatePilot las fórmulas →
Fuentes
- Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill, capítulos 1–2.
- ISO 80000-2:2019, cláusula 8 (números complejos).
Preguntas frecuentes
¿Por qué al dividir números complejos se usa el conjugado?
Al multiplicar el denominador por su conjugado z̄ se convierte en el número real |z|², eliminando i del denominador: el equivalente complejo de racionalizar una raíz cuadrada.
¿Cuál es el significado geométrico de multiplicar números complejos?
La multiplicación multiplica los módulos y suma los argumentos; geométricamente, escala y rota. Esto es exactamente lo que el teorema de De Moivre generaliza a potencias y raíces.
¿Por qué un número complejo tiene n raíces n-ésimas distintas?
Porque los ángulos que difieren en una vuelta completa (2π) describen el mismo punto, pero elevar a la potencia n multiplica el ángulo por n; así, n ángulos de partida distintos, separados 2π/n, llegan todos al mismo resultado.
¿Para qué sirve el conjugado complejo?
Además de la división, z·z̄ = |z|² siempre da un número real, lo cual es esencial para hallar magnitudes, normalizar vectores y, en el procesamiento de señales, calcular la potencia a partir de una amplitud compleja.
¿Cómo se relaciona la fórmula de Euler con la forma polar?
La fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i sen θ permite escribir la forma polar r(cos θ + i sen θ) de manera compacta como r·e^(iθ): el mismo número, y la forma que hace más naturales la multiplicación, las potencias y las raíces.
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