Z-Wert-Rechner
Ermitteln Sie den Z-Wert eines Wertes, das zugehörige Perzentil und die Randwahrscheinlichkeiten sowie jeden Rechenschritt — aus Mittelwert und Standardabweichung, aus einem Rohdatensatz oder rückwärts aus einem Perzentil.
Verfasst von Suhaib Hassan. Formeln und Rechenbeispiele werden vor der Veröffentlichung anhand des NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook geprüft. Unsere Methodik.
Er standardisiert mit z = (x − μ) ÷ σ und wertet dann die Standardnormalverteilung numerisch aus — mit einer Reihe nahe null und einem Kettenbruch in den Rändern.
Die meisten Z-Wert-Tools liefern nur eine Zahl. Dieses zeigt die Randflächen und den Rechenweg und verarbeitet außerdem Rohdatensätze und inverse Abfragen (Perzentil → Wert).
—
Fläche unter der Kurve links von z
Komplementäre Fläche am oberen Rand
Fläche der Extremwerte an beiden Rändern
| # | Wert | Z-Wert |
|---|
Z-Werte für Grundgesamtheit vs. Stichprobe
Die Formel für den Z-Wert ist in beiden Fällen gleich; es ändert sich nur, woher Mittelwert und Standardabweichung stammen. Verwenden Sie σ, wenn Sie die gesamte Grundgesamtheit kennen, und die Stichprobenkennwerte, wenn Sie nur eine Stichprobe haben.
Z-Wert der Grundgesamtheit μ und σ bekannt
Verwenden Sie ihn, wenn Mittelwert und Standardabweichung die gesamte Grundgesamtheit beschreiben — zum Beispiel eine veröffentlichte Testnorm.
Stichproben-Z-Wert x̄ und s aus Daten
Verwenden Sie ihn, wenn Mittelwert x̄ und Standardabweichung s aus einer Stichprobe geschätzt werden. s teilt durch n − 1 (Bessel-Korrektur).
Die empirische Regel: wie viel einer Normalverteilung in jedem Bereich liegt
Exakte Flächen für eine Normalverteilung — die bekannten Werte 68–95–99,7 sind gerundete Fassungen davon. Ihr |z| liegt im hervorgehobenen Bereich.
| Bereich um den Mittelwert | Fläche innerhalb des Bereichs | Fläche in jedem Rand | Typische Verwendung |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ (|z| ≤ 1) | 68.2689% | 15.8655% | Der zentrale Großteil der Beobachtungen |
| μ ± 1.645σ | 90.0000% | 5.0000% | 90-%-Konfidenzintervall; einseitiger 5-%-Test |
| μ ± 1.96σ | 95.0000% | 2.5000% | 95-%-Konfidenzintervall; zweiseitiger 5-%-Test |
| μ ± 2σ | 95.4500% | 2.2750% | Ein gängiger Filter für "ungewöhnliche Werte" |
| μ ± 2.576σ | 99.0000% | 0.5000% | 99-%-Konfidenzintervall; zweiseitiger 1-%-Test |
| μ ± 3σ | 99.7300% | 0.1350% | Sehr seltene Werte bei Normalverteilung |
| Jenseits von ±3σ | unter 0.27% außerhalb | unter 0.135% | Extremwerte — prüfen Sie die Daten |
Rechenbeispiel: ein standardisiertes Testergebnis
Ein Test hat einen Mittelwert von 500 und eine Standardabweichung von 100, und die Ergebnisse sind ungefähr normalverteilt. Ein Teilnehmer erzielt 650. Wie schneidet er im Vergleich zu allen anderen ab?
- 1
Bekanntes festhalten
Rohwert x = 650, Mittelwert μ = 500, Standardabweichung σ = 100.
- 2
Mittelwert abziehen
Wie weit der Wert vom Durchschnitt entfernt liegt.
x − μ = 650 − 500 = +150 - 3
Durch die Standardabweichung teilen
Diesen Abstand in Standardabweichungen ausdrücken.
z = 150 ÷ 100 = +1.50 - 4
Das Perzentil ablesen
Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bei 1.50 beträgt 0.9332, der Teilnehmer schnitt also besser ab als etwa 93,3 % der Testteilnehmer.
Φ(1.50) = 0.9332 → 93,32. Perzentil
Wo Z-Werte verwendet werden
Die Standardisierung bringt Werte unterschiedlicher Skalen auf eine gemeinsame Grundlage, weshalb die Idee in vielen Fachgebieten auftaucht.
Maschinelles Lernen
Die Merkmalsstandardisierung skaliert jede Variable auf Mittelwert 0 und Standardabweichung 1, damit Merkmale mit großen Werten abstands- oder gradientenbasierte Modelle nicht dominieren.
Auch "Z-Score-Normalisierung" genanntWachstums- & Gesundheitsscreening
Pädiatrische Wachstumsreferenzen und Knochendichteberichte drücken eine Messung als Z-Wert gegenüber einer nach Alter und Geschlecht passenden Referenzgruppe aus.
Vergleich mit der ReferenzgruppeQualitätskontrolle
Die Prozessüberwachung kennzeichnet eine Messung, die mehrere Standardabweichungen vom Prozessmittelwert entfernt liegt, als mögliche Sonderursache, die untersucht werden sollte.
AusreißerprüfungWas ist ein Z-Wert?
Ein Z-Wert (Standardwert) gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert seiner Verteilung entfernt liegt. Ein Z-Wert von 0 ist genau durchschnittlich, +1 liegt eine Standardabweichung darüber und −2 zwei darunter. Da das Ergebnis keine Einheit hat, können Sie mit Z-Werten eine Körpergröße in Zentimetern mit einer Prüfungsnote oder einem Laborwert vergleichen.
So berechnen Sie einen Z-Wert
z = (x − μ) ÷ σ, wobei x der Rohwert, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung ist. Für die Gegenrichtung gilt x = μ + zσ. Das Perzentil ergibt sich aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z), wenn die Daten annähernd normalverteilt sind.
- Linker Rand = Φ(z), der Anteil der Werte unterhalb von x.
- Rechter Rand = 1 − Φ(z), der Anteil oberhalb von x.
- Zweiseitig = 2 × der kleinere Rand, der Anteil, der in beiden Richtungen mindestens so weit vom Mittelwert entfernt liegt.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Ihr Ergebnis interpretieren
Zwischen −1 und +1 liegt gewöhnliche Streuung, und jenseits von ±2 ist es ungewöhnlich: Etwa 5 % einer Normalverteilung liegen so weit außen. Jenseits von ±3 ist es selten (etwa 0,27 %). Das Perzentil ist nur aussagekräftig, wenn die Daten annähernd glockenförmig sind — bei schiefen Daten bedeutet ein hoher Z-Wert nicht dieselbe Randwahrscheinlichkeit.
Quellen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.6.6.1 Normal distribution
- Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (Hrsg.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964 — Kapitel 26, Normalverteilungsfunktion.
- ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein negativer Z-Wert?
Er bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. Ein Z-Wert von −1.5 liegt anderthalb Standardabweichungen unter dem Durchschnitt, was bei einer Normalverteilung etwa dem 6,68. Perzentil entspricht.
Wie wandle ich einen Z-Wert in ein Perzentil um?
Werten Sie die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z) aus und multiplizieren Sie mit 100. Zum Beispiel ist Φ(1.00) = 0.8413, also entspricht z = 1 dem 84,13. Perzentil. Dieser Rechner übernimmt das für Sie und zeigt zusätzlich beide Randflächen.
Was ist der Unterschied zwischen einem Z-Wert und einem T-Wert?
Ein Z-Wert verwendet eine bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit und die Normalverteilung. Eine t-Statistik verwendet eine aus einer kleinen Stichprobe geschätzte Standardabweichung und die t-Verteilung, die dickere Ränder hat. Davon unabhängig bezeichnet "T-Wert" in der Psychometrie einen standardisierten Wert mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10, der nichts mit der t-Verteilung zu tun hat.
Wie lauten die kritischen Z-Werte für 95 % und 99 % Konfidenz?
Für ein zweiseitiges Intervall gilt z = 1.960 bei 95 % Konfidenz und z = 2.576 bei 99 % Konfidenz. Für 90 % ist es 1.645. Verwenden Sie den Umkehrmodus mit einem Perzentil von 97.5 oder 99.5, um sie nachzuvollziehen.
Sollte ich die Stichproben- oder die Grundgesamtheits-Standardabweichung verwenden?
Verwenden Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit (Division durch N) nur, wenn Ihre Daten die gesamte Grundgesamtheit umfassen. Handelt es sich um eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe, teilen Sie durch n − 1, um die erwartungstreue Schätzung der Varianz zu erhalten, was die übliche Wahl ist.
Funktioniert das Perzentil bei beliebigen Daten?
Nein. Der Z-Wert selbst ist immer gültig, doch das Perzentil und die Randflächen setzen eine annähernde Normalverteilung voraus. Bei stark schiefen oder randlastigen Daten können sie erheblich danebenliegen.
Verwandte Statistik-Rechner
Nächste Schritte, sobald Sie einen Z-Wert haben.