Standardabweichungsrechner
Fügen Sie eine Liste von Zahlen ein, um die Stichproben- oder Grundgesamtheits-Standardabweichung, Varianz, Mittelwert, Quadratsumme, Variationskoeffizient und ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert zu erhalten – mit allen angezeigten Rechenschritten.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Formeln folgen dem NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook. Unsere Methodik.
Er verwendet die Zweipass-Methode – zuerst den Mittelwert bestimmen, dann die quadrierten Abweichungen davon summieren –, die die Rundungsfehler der Kurzformel vermeidet.
Die meisten Rechner geben nur eine nackte Zahl aus. Dieser zeigt die Abweichungstabelle, nennt den verwendeten Divisor und stellt Ihre Daten der passenden Glockenkurve gegenüber.
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Verwendete Werte
Gesamtsumme aller Werte
Σ(x − Mittelwert)²
SD ÷ |Mittelwert| × 100
SD ÷ √n
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Ihre Daten im Vergleich zu einer Normalverteilungskurve
Die Kurve ist eine Normalverteilung mit Ihrem Mittelwert und Ihrer Standardabweichung; die Punkte sind Ihre Werte. Das schattierte Band zeigt eine Standardabweichung beiderseits des Mittelwerts.
Rechenweg Schritt für Schritt
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| # | Wert (x) | Abweichung (x − Mittelwert) | Quadrierte Abweichung |
|---|
Standardabweichung der Grundgesamtheit vs. der Stichprobe
Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Divisor. Die Stichprobenversion teilt durch n − 1, damit die Varianzschätzung nicht zu niedrig ausfällt, wenn der Mittelwert selbst aus denselben Daten geschätzt wird.
SD der Grundgesamtheit (σ) Divisor N
Verwenden Sie sie, wenn Ihre Liste jedes Mitglied der Gruppe umfasst, die Sie interessiert – jeden Mitarbeiter, jede Einheit einer Charge.
Stichproben-SD (s) Bessel-korrigiert, Divisor n − 1
Verwenden Sie sie, wenn Ihre Liste eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit ist – der übliche Fall bei Umfragen und Experimenten.
Warum n − 1? Die Abweichungen werden vom Stichprobenmittelwert gemessen, der näher an den Daten liegt als der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit, sodass Σ(x − x̄)² tendenziell kleiner ist als Σ(x − μ)². Die Division durch n − 1 statt n gleicht das im Mittel aus: Die Stichprobenvarianz s² ist dann ein erwartungstreuer Schätzer für σ². (Die Quadratwurzel s ist bei kleinem n weiterhin ganz leicht verzerrt.)
Symbolverzeichnis
Was jedes Symbol auf dieser Seite bedeutet.
| Symbol | Name | Bedeutung |
|---|---|---|
| s | Stichproben-Standardabweichung | Quadratwurzel der Stichprobenvarianz (Divisor n − 1). |
| σ | Standardabweichung der Grundgesamtheit | Quadratwurzel der Varianz der Grundgesamtheit (Divisor N). |
| x̄ , μ | Stichprobenmittelwert, Mittelwert der Grundgesamtheit | Der arithmetische Durchschnitt der Werte. |
| n , N | Stichprobenumfang, Umfang der Grundgesamtheit | Wie viele Werte es gibt. |
| SS | Quadratsumme | Σ(x − Mittelwert)², der gesamte quadrierte Abstand vom Mittelwert. |
| CV | Variationskoeffizient | Standardabweichung als Prozentsatz des Mittelwerts; vergleicht die Streuung über verschiedene Skalen hinweg. |
| SE | Standardfehler des Mittelwerts | s ÷ √n – wie stark ein Stichprobenmittelwert voraussichtlich schwankt. |
Rechenbeispiel: Prüfung einer Charge Kugellager
Acht Kugellager werden gemessen (mm): 25.002, 25.008, 24.996, 25.004, 25.000, 24.998, 25.006, 25.002. Wie gleichmäßig ist der Prozess? (Laden Sie diese Daten über das Beispielmenü, um sie oben zu sehen.)
- 1
Mittelwert
Addieren Sie die acht Werte und teilen Sie durch 8.
x̄ = 200.016 ÷ 8 = 25.002 mm - 2
Quadrierte Abweichungen
Die Abweichungen sind 0, +0.006, −0.006, +0.002, −0.002, −0.004, +0.004, 0.
Σ(x − x̄)² = 0.000112 - 3
Stichprobenvarianz und SD
Die Kugellager sind eine Stichprobe aus einer Produktionsserie, daher teilen Sie durch n − 1 = 7.
s² = 0.000112 ÷ 7 = 0.000016 → s = 0.004 mm
Wo die Standardabweichung eingesetzt wird
Immer dann, wenn Sie beschreiben möchten, wie stark Messwerte streuen, und nicht nur, wo ihr Mittelpunkt liegt.
Qualitätskontrolle
Prozessfähigkeits- und Regelkarten vergleichen die Standardabweichung einer Messung mit der Toleranz, die das Bauteil einhalten muss.
Gleichmäßigkeit eines ProzessesFinanzen
Die Standardabweichung der Renditen eines Wertpapiers ist ein gängiges Volatilitätsmaß und die Risikoachse in der Mittelwert-Varianz-Analyse.
Volatilität & RisikoForschung & Medizin
Studien geben Ergebnisse als Mittelwert ± SD an, um zu zeigen, wie stark sich Einzelne unterscheiden, und nutzen die SD zur Planung von Stichprobengrößen.
Variabilität beschreibenWas ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung misst, wie weit Werte typischerweise von ihrem Mittelwert entfernt liegen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Durchschnitt liegen; eine große bedeutet, dass sie weit gestreut sind. Sie wird in denselben Einheiten wie die Daten angegeben, weshalb sie häufiger verwendet wird als die Varianz.
So berechnen Sie die Standardabweichung
- Bestimmen Sie den Mittelwert der Werte.
- Ziehen Sie von jedem Wert den Mittelwert ab und quadrieren Sie das Ergebnis.
- Addieren Sie die Quadrate, um die Quadratsumme (SS) zu erhalten.
- Teilen Sie SS durch n − 1 (Stichprobe) oder N (Grundgesamtheit), um die Varianz zu erhalten.
- Ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert
Für eine Stichprobe lautet das Intervall x̄ ± t × s ÷ √n, wobei t der kritische Wert der Student-t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist (2.262 für n = 10). Es wird nur für die Einstellung „Stichprobe“ angezeigt, da der Mittelwert einer Grundgesamtheit exakt bekannt ist und kein Intervall benötigt.
Quellen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.5.6 Measures of scale
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.5.2 Confidence limits for the mean
- ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Häufig gestellte Fragen
Warum teilen wir bei einer Stichprobe durch n − 1?
Weil die Abweichungen vom Stichprobenmittelwert und nicht vom unbekannten wahren Mittelwert gemessen werden, fällt die reine Quadratsumme zu niedrig aus. Die Division durch n − 1 (Bessel-Korrektur) macht die Stichprobenvarianz zu einer erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit.
Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler?
Die Standardabweichung beschreibt die Streuung der einzelnen Werte. Der Standardfehler des Mittelwerts, s ÷ √n, beschreibt, wie stark der Stichprobenmittelwert selbst von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde; er wird mit wachsender Stichprobe kleiner, die Standardabweichung dagegen nicht.
Wie stark beeinflussen Ausreißer die Standardabweichung?
Sehr stark, da die Abweichungen quadriert werden. Ein einziger Extremwert kann die Standardabweichung erheblich aufblähen. Wenn Ausreißer ein Thema sind, vergleichen Sie sie mit dem Interquartilsabstand, der weit weniger empfindlich ist.
Kann die Standardabweichung negativ sein?
Nein. Sie ist die Quadratwurzel aus einer Quadratsumme und daher null oder positiv. Null ist sie nur, wenn alle Werte identisch sind.
Sollte ich Stichprobe oder Grundgesamtheit wählen?
Wählen Sie Grundgesamtheit nur, wenn Ihre Liste jedes Mitglied der beschriebenen Gruppe enthält. Wenn es sich um eine Stichprobe handelt, mit der Sie etwas über eine größere Gruppe erfahren wollen, wählen Sie Stichprobe. Im Zweifel ist die Stichprobe die Standardwahl.
Was sagt mir der Variationskoeffizient?
Er drückt die Standardabweichung als Prozentsatz des Mittelwerts aus, sodass Sie die relative Streuung von Daten auf unterschiedlichen Skalen vergleichen können. Er ist nur aussagekräftig, wenn der Mittelwert nicht nahe null liegt und die Daten auf einer Verhältnisskala vorliegen.
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