Wahrscheinlichkeitsrechner
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder drei Ereignisse gemeinsam oder getrennt eintreten, aktualisieren Sie eine Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes oder rechnen Sie zwischen Wahrscheinlichkeit, Chancen und „1 zu N“ um – mit Venn-Diagramm und jedem Rechenschritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jede hier verwendete Regel ist ein anerkannter Satz, und jedes Rechenbeispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Der Rechner prüft, ob Ihre Eingaben gültige Wahrscheinlichkeiten sind, und wendet dann Multiplikationssatz, Additionssatz, Gegenereignisregel und Satz von Bayes genau so an, wie unten beschrieben.
„Unvereinbar“ und „unabhängig“ werden oft verwechselt. Diese Seite macht den Zusammenhang zu einer ausdrücklichen Auswahl und weist unmögliche Kombinationen zurück.
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Die drei Axiome von Kolmogorow
Die gesamte moderne Wahrscheinlichkeitstheorie beruht auf drei Regeln, die Andrei Kolmogorow 1933 formalisierte. Dieser Rechner weist jede Eingabe zurück, die sie verletzt.
1. Nichtnegativität
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist nie negativ.
2. Normierung
Irgendetwas im Ergebnisraum muss eintreten, daher beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit genau 1.
3. Additivität
Bei Ereignissen, die nicht gemeinsam eintreten können, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten.
Unvereinbare und unabhängige Ereignisse
Zwei der am häufigsten verwechselten Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie sind nahezu Gegensätze.
| Eigenschaft | Unvereinbar | Unabhängig |
|---|---|---|
| Bedeutung | A und B können nicht beide eintreten: A ∩ B = ∅ | Zu wissen, dass A eingetreten ist, sagt nichts über B aus |
| Schnittmenge P(A ∩ B) | 0 | P(A) × P(B) |
| Vereinigung P(A ∪ B) | P(A) + P(B) | P(A) + P(B) − P(A)P(B) |
| Bedingt P(A | B) | 0 | P(A) |
| Können beide gelten? | Nur wenn P(A) = 0 oder P(B) = 0. Sind beide Ereignisse möglich, bedeutet „unvereinbar“, dass man aus dem Eintreten des einen weiß, dass das andere nicht eingetreten ist – sie sind also abhängig. | |
Rechenbeispiele
Jedes Beispiel wurde von Hand geprüft und lässt sich oben nachvollziehen.
Screening bei seltener Erkrankung
Eine Erkrankung betrifft 1 von 1.000 Personen. Ein Test erkennt sie in 95 % der Fälle und liefert in 5 % der Fälle ein falsch-positives Ergebnis. Jemand testet positiv – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person erkrankt ist?
P(A|B) = 0,00095 ÷ 0,05090
= 0,0187 (etwa 1,87 %)
Die meisten positiven Ergebnisse sind falsch-positiv, weil die Erkrankung so selten ist. Verwenden Sie den Reiter „Satz von Bayes“.
Mindestens eine Sechs bei vier Würfen
Ein fairer Würfel wird viermal geworfen: die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.
P(keine Sechs bei vier Würfen) = (5/6)⁴ = 0,4823
P(mindestens eine Sechs) = 1 − 0,4823 = 0,5177
Verwenden Sie den Reiter „Chancen“ mit p = 1/6 (0,1667) und 4 Versuchen.
Zwei unabhängige Backups
Jedes von zwei unabhängigen Backup-Systemen fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 aus.
Mindestens eines fällt aus: 0,02 + 0,02 − 0,0004 = 0,0396
Geben Sie auf dem Reiter „Zwei Ereignisse“ 0,02 und 0,02 ein, unabhängig.
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Sie lässt sich als Dezimalzahl, Prozentwert, Bruch, Chance oder Häufigkeit wie „1 von 20“ angeben.
Die wichtigsten Regeln
- Gegenereignis: P(nicht A) = 1 − P(A).
- Addition (eines der Ereignisse): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Die Schnittmenge wird abgezogen, damit sie nicht doppelt gezählt wird.
- Multiplikation (beide Ereignisse), unabhängig: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), für P(B) > 0.
- Satz von Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), wobei P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | nicht A)P(nicht A).
- Chancen: Chancen dafür = p ÷ (1 − p); p = a ÷ (a + b) für Chancen a : b.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin.
- Grinstead, C. M. & Snell, J. L. (1997). Introduction to Probability, 2nd ed. American Mathematical Society.
- Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995). How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684–704.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen unvereinbaren und unabhängigen Ereignissen?
Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten, daher gilt P(A ∩ B) = 0. Unabhängige Ereignisse können gemeinsam eintreten, und das Eintreten des einen ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht, daher gilt P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Haben beide eine Wahrscheinlichkeit ungleich null, können Ereignisse nicht beides zugleich sein.
Warum kann ich bei „A oder B“ nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten addieren?
Wenn sich die Ereignisse überschneiden können, wird die Überschneidung beim Addieren doppelt gezählt. Der Additionssatz zieht P(A ∩ B) einmal ab, um das zu korrigieren. Reines Addieren ist nur bei unvereinbaren Ereignissen richtig.
Was leistet der Satz von Bayes?
Er aktualisiert eine A-priori-Wahrscheinlichkeit, wenn Sie neue Hinweise beobachten. Er kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um: von P(B | A), also wie wahrscheinlich der Hinweis ist, wenn A zutrifft, zu P(A | B), also wie wahrscheinlich A angesichts des Hinweises ist – unter Berücksichtigung, wie häufig A von vornherein war.
Was ist der Spielerfehlschluss?
Das ist die irrige Annahme, dass vergangene unabhängige Ergebnisse künftige beeinflussen – etwa dass nach einer Serie von Zahl nun „Kopf fällig“ sei. Bei unabhängigen Ereignissen gilt P(A | B) = P(A): Die Münze hat kein Gedächtnis.
Wie rechne ich eine Wahrscheinlichkeit in Chancen um?
Die Chancen für ein Ereignis betragen p ÷ (1 − p). Eine Wahrscheinlichkeit von 0,4 ergibt Chancen von 0,4 ÷ 0,6 = 2 zu 3 dafür bzw. 3 zu 2 dagegen. Mit dem Reiter „Chancen“ rechnen Sie in beide Richtungen um.
Kann eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 oder negativ sein?
Nein. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 einschließlich (0 % bis 100 %). Der Rechner weist Werte außerhalb dieses Bereichs zurück, ebenso gemeinsame Wahrscheinlichkeiten, die bei gegebenen P(A) und P(B) unmöglich sind.
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