Permutationen- & Kombinationen-Rechner (nPr und nCr)
Zählen Sie Anordnungen (Reihenfolge zählt) und Auswahlen (Reihenfolge zählt nicht) – mit oder ohne Wiederholung. Die Ergebnisse sind exakte ganze Zahlen, egal wie groß, mit schrittweise gezeigter Fakultätskürzung.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Zählformeln sind Standard, und jedes Beispiel wird von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er verwendet Ganzzahlarithmetik mit beliebiger Genauigkeit und multipliziert nur die Faktoren, die sich nicht kürzen, sodass weder Rundung noch Überlauf auftritt, selbst wenn n in den Hunderten liegt.
Die Wahl der falschen Formel ist der häufigste Fehler. Eine Entscheidungshilfe und ein direkter Vergleich aller vier Fälle helfen Ihnen, richtig zu wählen.
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Zähler
Anordnungen von r Elementen
Gekürzte Faktoren
Permutation vs. Kombination: Spielt die Reihenfolge eine Rolle?
Eine Permutation zählt jede unterschiedliche Anordnung einzeln. Eine Kombination behandelt Anordnungen derselben Elemente als eine Auswahl, sodass jeder Kombination r! Permutationen entsprechen.
Permutationen Reihenfolge zählt
Drei Spielsteine A, B, C lassen sich in 3! = 6 verschiedenen Reihenfolgen anordnen:
Jede geordnete Anordnung ist ein eigenes Ergebnis – wie Gold-, Silber- und Bronzeplatz bei einem Rennen.
Kombinationen Reihenfolge zählt nicht
Alle sechs Reihenfolgen enthalten dieselben drei Spielsteine, daher fallen sie zu einer einzigen Kombination zusammen:
C(n, r) = P(n, r) ÷ r! – wie bei der Wahl eines Ausschusses, bei der nur die Mitgliedschaft zählt.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Die vier Zählformeln
Kombinationen ohne Wiederholung
Ungeordnete Auswahlen, bei denen jedes Element höchstens einmal gewählt werden kann.
Permutationen ohne Wiederholung
Geordnete Anordnungen ohne Wiederverwendung: n Möglichkeiten, dann n − 1 und so weiter.
Kombinationen mit Wiederholung
Multimengen der Größe r aus n Typen (die „Stars-and-Bars“-Zählung), bei denen sich Elemente wiederholen dürfen und die Reihenfolge ignoriert wird.
Permutationen mit Wiederholung
Geordnete Folgen, bei denen jede der r Positionen unabhängig eines der n Symbole sein kann.
Wann spielt die Reihenfolge eine Rolle?
Eine Kurzanleitung zur Wahl der richtigen Formel. Alle Ergebnisse sind exakt.
| Szenario | Reihenfolge wichtig? | Formel | Ansatz | Exaktes Ergebnis |
|---|---|---|---|---|
| Spindschloss, verschiedene Zahlen | Ja | P(n, r) | 3 verschiedene Zahlen aus 0–39 | 59,280 |
| Lotto, 6 ziehen | Nein | C(n, r) | 6 aus 49 | 13,983,816 |
| Siegerpodest | Ja | P(n, r) | Top 3 von 8 Sprintern | 336 |
| Pizzabeläge | Nein | C(n, r) | 3 Beläge aus 10 | 120 |
| Passwort, Zeichen dürfen sich wiederholen | Ja | nʳ | 62 Zeichen, 8 Stellen | 218,340,105,584,896 |
Rechenbeispiele
Schlüsselraum eines Passworts
Ein Passwort mit 8 Zeichen aus 26 Kleinbuchstaben + 26 Großbuchstaben + 10 Ziffern (62 Symbole), Wiederholung erlaubt.
log₂ = 8 × 5.954 ≈ 47.6 Bit
Auswahl einer Studiengruppe
Wählen Sie 20 Teilnehmer aus einem Pool von 100, Reihenfolge unerheblich.
≈ 5.36 × 10²⁰ mögliche Gruppen
Verbindungen im Mesh-Netzwerk
Wie viele Punkt-zu-Punkt-Verbindungen verbinden 24 Server, sodass jedes Paar verbunden ist?
Was sind Permutationen und Kombinationen?
Permutationen und Kombinationen zählen die Möglichkeiten, Elemente aus einer Menge auszuwählen. Eine Permutation ist eine geordnete Anordnung; eine Kombination ist eine ungeordnete Auswahl. Beiden liegt die Fakultät n! = n × (n − 1) × … × 1 zugrunde, wobei 0! als 1 definiert ist.
So wählen Sie die Formel
- Ergibt die Reihenfolge der gewählten Elemente ein anderes Ergebnis? Wenn ja, verwenden Sie Permutationen; wenn nein, Kombinationen.
- Kann dasselbe Element mehrfach gewählt werden? Wenn ja, verwenden Sie die Formeln „mit Wiederholung“.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 26.3 (Lattice paths: binomial coefficients) and chapter 26, Combinatorial Analysis.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Addison-Wesley.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (notation for factorials and binomial coefficients).
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen, daher sind (1, 2, 3) und (3, 2, 1) verschieden. Eine Kombination zählt ungeordnete Auswahlen, daher sind sie gleich. Da sich jede Kombination der Größe r auf r! Arten anordnen lässt, ist die Anzahl der Permutationen stets das r!-Fache der Anzahl der Kombinationen.
Warum ist ein „Kombinationsschloss“ eigentlich ein Permutationsschloss?
Weil die Reihenfolge, in der Sie die Ziffern eingeben, zählt: 1-2-3 öffnet es, 3-2-1 nicht. Streng genommen ist es eine Zählung geordneter Folgen und verwendet daher Permutationsformeln (mit Wiederholung, wenn Ziffern mehrfach verwendet werden dürfen).
Wie geht dieser Rechner mit sehr großen Fakultäten um?
Er verwendet Ganzzahlarithmetik mit beliebiger Genauigkeit, sodass die Ergebnisse exakt sind und nicht auf Gleitkommagenauigkeit gerundet werden. Zahlen mit mehr als 18 Stellen werden in wissenschaftlicher Notation angezeigt, und „Exakten Wert kopieren“ kopiert jede Ziffer.
Was sind „Stars and Bars“?
Das ist eine Methode zum Zählen von Kombinationen mit Wiederholung. Die Auswahl von r Elementen aus n Typen, mit erlaubten Wiederholungen und ohne Beachtung der Reihenfolge, entspricht dem Aufstellen von r Sternen und n − 1 Trennstrichen in einer Reihe, was C(n + r − 1, r) ergibt.
Was ist 0! und was gilt für r = 0?
Per Definition ist 0! = 1. Null Elemente auszuwählen ist auf genau eine Weise möglich, daher ist C(n, 0) = P(n, 0) = 1 und n⁰ = 1.
Warum darf r ohne Wiederholung nicht größer als n sein?
Sie können nicht mehr verschiedene Elemente wählen, als vorhanden sind, daher ist die Anzahl 0. Der Rechner verlangt bei den Formeln ohne Wiederholung r ≤ n; bei erlaubter Wiederholung darf r größer als n sein.
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