Binomialwahrscheinlichkeits-Rechner
Ermitteln Sie die exakte Wahrscheinlichkeit für k Erfolge in n unabhängigen Versuchen – P(X = k), P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k) und P(X > k) – samt Mittelwert, Varianz und Form der Verteilung, einem Wahrscheinlichkeitshistogramm und jedem Schritt des Rechenwegs.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Formel und jedes Rechenbeispiel wurden von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er wertet C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ mit Logarithmen von Fakultäten aus, sodass auch große n nicht überlaufen, und addiert Terme für die kumulierten Ergebnisse.
Tabellen in Lehrbüchern enden bei kleinem n und runden stark. Dieser Rechner liefert jeden Bereich an einer Stelle und zeigt die Rechnung hinter dem Ergebnis.
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Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Anzahl von Erfolgen. Balken im gesuchten Ereignis sind dunkel; die gestrichelte Linie markiert den Mittelwert.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Maßgebliche Gleichungen und Bedingungen
Die Gleichungen
Vier Bedingungen für ein Binomialmodell
- Feste Anzahl von Versuchen. n steht im Voraus fest.
- Zwei Ergebnisse. Jeder Versuch ist ein Erfolg oder ein Misserfolg.
- Konstante Wahrscheinlichkeit. p ist bei jedem Versuch gleich.
- Unabhängigkeit. Das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst das eines anderen nicht.
Rechenbeispiele
Alle verwenden exakte Binomialsummen, von Hand geprüft und mit den Voreinstellungen und Eingaben oben nachvollziehbar.
Wareneingangsprüfung
Eine Charge hat eine Fehlerquote von 2 %. Ein Prüfer testet 50 Einheiten und weist die Charge zurück, wenn mehr als 2 fehlerhaft sind.
= 0,36417 + 0,37160 + 0,18580 = 0,92157
P(Zurückweisung) = P(X > 2) = 0,0784
Klinisches Ansprechen
Eine Behandlung wirkt bei 70 % der Patienten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 Patienten mindestens 25 ansprechen?
P(X ≥ 25) = 0,0766 (etwa 7,7 %)
Mittelwert = 21 Responder
Paketverlust
Jedes von 64 Paketen geht unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 verloren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 verloren gehen?
P(X ≤ 5) = 0,89990
P(X > 5) = 0,1001 (etwa 10,0 %)
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, in n unabhängigen Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, wenn jeder Versuch mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingt. Typische Beispiele sind die Anzahl von Kopfwürfen beim Münzwurf, fehlerhafte Teile in einer Stichprobe oder Patienten, die auf eine Behandlung ansprechen.
So berechnen Sie eine Binomialwahrscheinlichkeit
- Bestimmen Sie den Binomialkoeffizienten C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!), die Anzahl der Möglichkeiten, auszuwählen, welche Versuche gelingen.
- Multiplizieren Sie mit pᵏ, der Wahrscheinlichkeit, dass diese k Versuche alle gelingen.
- Multiplizieren Sie mit (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, der Wahrscheinlichkeit, dass die übrigen Versuche alle scheitern.
- Für eine kumulierte Wahrscheinlichkeit addieren Sie die Terme über den benötigten Bereich der k-Werte.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.6.6.18 Binomial distribution
- Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
- ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen der Binomial- und der hypergeometrischen Verteilung?
Das Binomialmodell setzt unabhängige Versuche mit konstanter Wahrscheinlichkeit voraus, etwa beim Ziehen mit Zurücklegen oder aus einer sehr großen Grundgesamtheit. Die hypergeometrische Verteilung beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit, bei dem jede Ziehung die Chancen der nächsten verändert. Macht die Stichprobe nur einen kleinen Teil der Grundgesamtheit aus (üblicherweise unter 5 %), ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.
Wann kann ich eine Normalapproximation verwenden?
Eine gängige Faustregel besagt, dass sowohl np als auch n(1 − p) mindestens 5 betragen sollten (manche Lehrbücher verlangen 10). Dann ist X näherungsweise normalverteilt mit dem Mittelwert np und der Standardabweichung √(npq), meist mit einer Stetigkeitskorrektur von ±0,5. Dieser Rechner liefert das exakte Ergebnis, daher ist keine Näherung nötig.
Wie vermeidet der Rechner Überlauf bei großem n?
Statt riesige Fakultäten zu multiplizieren, arbeitet er mit dem Logarithmus des Binomialkoeffizienten (über die Log-Gamma-Funktion) und potenziert am Ende. Der in den Rechenschritten gezeigte exakte Koeffizient wird separat mit Ganzzahlarithmetik berechnet.
Was passiert, wenn p gleich 0 oder 1 ist?
Das Ergebnis steht fest: Bei p = 0 schlägt jeder Versuch fehl, also P(X = 0) = 1; bei p = 1 gelingt jeder Versuch, also P(X = n) = 1. Die Varianz ist null und die Verteilung besteht aus einem einzigen Punkt.
Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg?
Nutzen Sie das Komplement: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Setzen Sie k = 1 und wählen Sie P(X ≥ k), um es direkt zu sehen.
Was ist, wenn meine Versuche nicht unabhängig sind?
Dann gilt das Binomialmodell nicht exakt. Je nach Situation kann ein hypergeometrisches oder ein anderes Modell besser geeignet sein. Unabhängigkeit und eine konstante Wahrscheinlichkeit sind wesentliche Voraussetzungen.
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