Fakultätsrechner
Berechnen Sie n! exakt, dazu Doppel- und Mehrfachfakultäten, Subfakultäten und gebrochene Fakultäten über die Gammafunktion — mit Endnullen, Primfaktorzerlegung, Stellenanzahl und der Genauigkeit der Stirling-Näherung.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Identitäten sind Standard der Zahlentheorie und Analysis, und jedes Rechenbeispiel wird von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er multipliziert mit Ganzzahlen beliebiger Größe, sodass bei 170! kein Überlauf auftritt. Die Primexponenten stammen aus der Legendre-Formel, die Gammafunktion aus einer Lanczos-Näherung.
Fakultäten wachsen erstaunlich schnell. Diese Seite zeigt den exakten Wert, seine Größe und warum Näherungen funktionieren.
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Wie schnell Fakultäten wachsen
log₁₀ von n! (blau) im Vergleich zur Stirling-Näherung (orange) und eⁿ (grau, gestrichelt). Fakultäten überholen jede Exponentialfunktion.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Übersicht der Fakultätsfamilie
Verwandte Funktionen mit Werten für n = 10.
| Funktion | Schreibweise | Definition | Wert für n = 10 | Verwendung |
|---|---|---|---|---|
| Fakultät | n! | n·(n−1)·…·2·1, 0! = 1 | 3,628,800 | Permutationen, Reihen |
| Doppelfakultät | n!! | n·(n−2)·(n−4)·… | 3,840 | Integrale, Kugelvolumina |
| Subfakultät | !n | n!·Σ(−1)ᵏ/k! | 1,334,961 | Fixpunktfreie Permutationen (Derangements) |
| Gammafunktion | Γ(z) | ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt | Γ(11) = 3,628,800 | Gebrochene Fakultäten, Statistik |
| Fallende Fakultät | (n)ₖ | n!/(n−k)! | (10)₃ = 720 | Geordnete Auswahlen |
Rechenbeispiele
Ein Kartenspiel mischen
Wie viele Anordnungen hat ein 52-Karten-Spiel?
68 Stellen — weit mehr als die Anzahl der Sekunden seit dem Urknall, daher liegt ein gut gemischtes Kartenspiel mit großer Sicherheit in einer Reihenfolge vor, die es noch nie gab.
Endnullen von 100!
Wie viele Nullen stehen am Ende von 100! ?
(es gibt immer mehr Faktoren 2 als Faktoren 5)
Gebrochene Fakultät
Was ist (½)! ?
= 0.886227
Was ist eine Fakultät?
Die Fakultät n! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n, wobei per Konvention 0! = 1 gilt (es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen). Sie zählt die Möglichkeiten, n verschiedene Objekte anzuordnen, und wächst schneller als jede Exponentialfunktion: 10! = 3,628,800 und 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸.
Nützliche Fakten
- Endnullen (Legendre): Die Anzahl der Faktoren einer Primzahl p in n! ist Σ ⌊n/pᵏ⌋. Die Nullen entsprechen der Anzahl der Faktoren 5.
- Stirling-Näherung: n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, mit einem relativen Fehler von etwa 1/(12n).
- Ramanujans Verfeinerung: n! ≈ √π (n/e)ⁿ (8n³ + 4n² + n + 1/30)^(1/6), deutlich genauer.
- Gammafunktion: Γ(n + 1) = n!, wodurch Fakultäten auf reelle und komplexe Zahlen erweitert werden.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Kapitel 5 (Gammafunktion), einschließlich 5.11 zu asymptotischen Entwicklungen.
- Stirling, J. (1730). Methodus Differentialis. London.
- Legendre, A.-M. (1808). Essai sur la théorie des nombres, 2. Aufl. Paris — die Formel für die Primexponenten.
- Euler, L. (1729). Brief an Goldbach über die Interpolation von Fakultäten — Ursprung der Gammafunktion.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist 0! gleich 1?
Weil es genau eine Möglichkeit gibt, null Objekte anzuordnen (nichts tun), und weil so die Rekursion n! = n · (n − 1)! bei n = 1 gültig bleibt (1 = 1 · 0!). Außerdem funktionieren dadurch Formeln wie C(n, 0) = n! ÷ (0! n!) = 1.
Wie zählt die Legendre-Formel Endnullen, ohne alles auszumultiplizieren?
Jede Endnull braucht einen Faktor 10 = 2 × 5. Faktoren 2 sind häufiger als Faktoren 5, daher entspricht die Zahl der Nullen der Anzahl der Fünfer in n!. Vielfache von 5 liefern je einen, Vielfache von 25 einen weiteren, Vielfache von 125 noch einen weiteren und so fort: Σ ⌊n/5ᵏ⌋.
Was ist der Unterschied zwischen der Stirling-Formel und der Ramanujan-Korrektur?
Der führende Term von Stirling unterschätzt n! relativ um etwa 1/(12n) (0.83 % bei n = 10). Ramanujans Version fügt unter einer sechsten Wurzel einen kubischen Term hinzu und senkt den relativen Fehler bei n = 10 auf etwa 9 × 10⁻⁸ (unter 0.00001 %).
Wie vermeidet dieser Rechner einen Überlauf?
Gewöhnliche 64-Bit-Gleitkommazahlen laufen bei 171! über (etwa 10³⁰⁸). Diese Seite verwendet Ganzzahlen beliebiger Größe für exakte Ergebnisse bis 3,000! und Logarithmen für die Stirling-Vergleiche, sodass nichts überläuft.
Ist die Doppelfakultät (n!!) die Fakultät einer Fakultät?
Nein. n!! multipliziert jede zweite Zahl abwärts von n (10!! = 10 · 8 · 6 · 4 · 2 = 3,840). Die Fakultät einer Fakultät wäre (n!)!, was astronomisch größer ist.
Kann ich die Fakultät einer negativen Zahl oder eines Bruchs bilden?
Nicht mit der Definition für ganze Zahlen. Die Gammafunktion erweitert sie auf alle reellen Zahlen außer den negativen ganzen Zahlen, wo sie Polstellen hat: (−1)!, (−2)!, … sind nicht definiert. Nutzen Sie den Gamma-Tab für gebrochene Werte.
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