Potenzrechner
Potenzieren Sie jede Basis mit jedem Exponenten, auch mit negativen und gebrochenen, ermitteln Sie n-te Wurzeln, wandeln Sie wissenschaftliche Schreibweise um und modellieren Sie exponentielles Wachstum oder Zerfall — mit exakten Ergebnissen, wo es sie gibt, und jedem gezeigten Schritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Potenzgesetze sind Standard, und jedes Rechenbeispiel wird von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Ganzzahlige Potenzen verwenden exakte große Ganzzahlen. Andere Potenzen nutzen Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit, wobei rationale Exponenten erkannt werden, sodass Ergebnisse wie 4^2.5 = 32 exakt herauskommen.
Er erklärt, was ein gebrochener oder negativer Exponent bedeutet, warnt Sie, wenn ein Ergebnis komplex ist, und zeigt die Kurve, auf der das Ergebnis liegt.
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Exponentialkurve
Die Kurve y = bᵗ mit Ihrem markierten Punkt.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Potenzgesetze
Diese gelten, sofern die Ausdrücke definiert sind.
| Regel | Gleichung | Beispiel | Bedingung |
|---|---|---|---|
| Produkt | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 4² · 4³ = 4⁵ = 1024 | Gleiche Basis |
| Quotient | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 4⁵ ÷ 4² = 4³ = 64 | b ≠ 0 |
| Potenz einer Potenz | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (4²)³ = 4⁶ = 4096 | b > 0 bei nicht ganzzahligen Exponenten |
| Negativer Exponent | b⁻ⁿ = 1 ÷ bⁿ | 4⁻² = 1/16 = 0.0625 | b ≠ 0 |
| Exponent null | b⁰ = 1 | 4⁰ = 1 | b ≠ 0 (0⁰ ist unbestimmt) |
| Gebrochener Exponent | b^(m/n) = (ⁿ√b)ᵐ | 64^(1/3) = 4 | b ≥ 0 bei geradem n |
Rechenbeispiele
Adressierbarer Speicher
Wie viele Bytes können eine 32-Bit- und eine 64-Bit-Adresse erreichen?
2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616 (≈ 18.4 Exabyte)
Stetige Verzinsung
$1,000 bei 5 % stetiger Verzinsung über 10 Jahre.
= $1,648.72
Radioaktiver Zerfall
Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5,730 Jahren. Welcher Anteil bleibt nach 11,460 Jahren übrig?
Was ist ein Exponent?
Ein Exponent gibt an, wie oft eine Basis als Faktor verwendet wird: b³ = b × b × b. Er lässt sich auf null (b⁰ = 1), negative Zahlen (b⁻ⁿ = 1 ÷ bⁿ) und Brüche (b^(1/n) ist die n-te Wurzel von b) erweitern. Reelle Exponenten werden über die Exponentialfunktion definiert: bˣ = eˣ ˡⁿ ᵇ für b > 0.
Wissenschaftliche Schreibweise
Eine Zahl steht in wissenschaftlicher Schreibweise, wenn sie als a × 10ⁿ mit 1 ≤ |a| < 10 geschrieben ist. Die technische Schreibweise beschränkt n auf Vielfache von 3, sodass sie zu den SI-Vorsätzen passt (Kilo, Mega, Milli …). Die E-Schreibweise wie 6.02e23 bedeutet 6.02 × 10²³.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Kapitel 4, Abschnitt 4.2 (Definitionen von Logarithmus und Exponentialfunktion).
- IEEE 754-2019, Standard for Floating-Point Arithmetic — das Format doppelter Genauigkeit, das für nicht ganzzahlige Potenzen verwendet wird.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Wie wird eine gebrochene Potenz wie 4^2.5 berechnet?
Schreiben Sie den Exponenten als Bruch, 2.5 = 5/2. Der Nenner ist die Wurzel und der Zähler die Potenz: 4^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 32. Der Rechner erkennt solche Brüche automatisch und zeigt den exakten Wert an, sofern es ihn gibt.
Was passiert bei einer negativen Basis und einem gebrochenen Exponenten?
Ist der Exponent ein Bruch mit ungeradem Nenner, ist das Ergebnis reell ((−8)^(1/3) = −2). Bei geradem Nenner, etwa (−4)^(1/2), gibt es kein reelles Ergebnis; der komplexe Hauptwert ist 0 + 2i, den diese Seite angibt, wenn er zutrifft.
Warum ist 0⁰ nicht definiert?
Zwei Regeln widersprechen sich: x⁰ = 1 für jedes x ungleich null, aber 0ˣ = 0 für jedes positive x. Keine setzt sich durch, daher bleibt 0⁰ in der Analysis unbestimmt. Viele Programmiersprachen und Lehrbücher der Kombinatorik definieren den Wert per Konvention als 1; dieser Rechner gibt ihn als unbestimmt aus.
Welche Genauigkeitsgrenzen gelten für große Ergebnisse?
Ganzzahlige Potenzen ganzer Zahlen sind exakte große Ganzzahlen. Andere Ergebnisse verwenden IEEE-754-Doppelpräzision: etwa 15–17 signifikante Stellen, mit Überlauf auf ∞ oberhalb von etwa 1.8 × 10³⁰⁸ und Unterlauf auf 0 unterhalb von etwa 5 × 10⁻³²⁴.
Worin unterscheiden sich exponentielles Wachstum und eine Potenzfunktion?
Bei einer Potenzfunktion wie x² variiert die Basis, und der Exponent ist fest. Bei einer Exponentialfunktion wie 2ˣ ist die Basis fest und der Exponent variiert — daher überholt sie irgendwann jede Potenzfunktion.
Wie finde ich die Verdopplungszeit?
Bei kontinuierlichem Wachstum N = N₀eᵏᵗ beträgt die Verdopplungszeit ln 2 ÷ k. Bei k = 0.05 pro Jahr sind das 0.693147 ÷ 0.05 ≈ 13.86 Jahre. Beim Zerfall ist die Halbwertszeit ln 2 ÷ |k|.
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