Logarithmusrechner
Berechnen Sie Logarithmen zu jeder Basis – dekadisch (log₁₀), natürlich (ln), binär (log₂) oder Ihre eigene – sowie Antilogarithmen, mit Rechenweg zum Basiswechsel, Kennzahl und Mantisse und einem Graphen.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Logarithmengesetze sind Standard, und jedes durchgerechnete Beispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er nutzt die Basiswechsel-Regel log_b(x) = ln x ÷ ln b mit natürlichen Logarithmen in doppelter Genauigkeit und prüft das Ergebnis, indem die Basis wieder mit dem Ergebnis potenziert wird.
Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition. Diese Seite zeigt den Wert, das Äquivalent in anderen Basen und die Lage auf der Kurve.
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Logarithmuskurve
y = log_b(x) mit Ihrem markierten Punkt; die Kurve hat bei x = 0 eine senkrechte Asymptote.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Logarithmengesetze
Für b > 0, b ≠ 1 sowie positive x und y.
| Regel | Gleichung | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt | log_b(xy) = log_b x + log_b y | log₁₀ 200 = log₁₀ 2 + log₁₀ 100 = 0,301 + 2 |
| Quotient | log_b(x/y) = log_b x − log_b y | log₁₀ 5 = log₁₀ 10 − log₁₀ 2 = 1 − 0,301 = 0,699 |
| Potenz | log_b(xᵖ) = p · log_b x | log₁₀ 1000 = log₁₀ 10³ = 3 · 1 = 3 |
| Basiswechsel | log_b x = ln x ÷ ln b | log₂ 8 = ln 8 ÷ ln 2 = 2,0794 ÷ 0,6931 = 3 |
| Kehrwert | b^(log_b x) = x und log_b(bˣ) = x | 10^(log₁₀ 500) = 500 |
| Sonderwerte | log_b 1 = 0, log_b b = 1 | log₁₀ 1 = 0, log₁₀ 10 = 1 |
Rechenbeispiele
Dezibel
Ein Schall mit der 100-fachen Bezugsleistung.
= 10 × 2 = 20 dB
Binärsuche
Wie viele Vergleiche sind nötig, um 1.000.000 sortierte Elemente zu durchsuchen?
pH-Wert von Wasser
Reines Wasser hat [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L.
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus log_b(x) beantwortet die Frage: „Mit welcher Potenz muss ich b potenzieren, um x zu erhalten?“ Wenn bʸ = x, dann ist y = log_b(x). Die drei häufigsten Basen sind 10 (dekadischer Logarithmus, geschrieben log oder log₁₀), e ≈ 2,71828 (natürlicher Logarithmus, ln) und 2 (binärer Logarithmus, log₂, in der Informatik gebräuchlich).
Kennzahl und Mantisse
Bei einem Logarithmus zur Basis 10 gibt der ganzzahlige Teil (die Kennzahl) die Größenordnung an, und der Nachkommateil (die Mantisse) hängt nur von den Ziffern ab. Da log₁₀ 500 = log₁₀ 5 + log₁₀ 100 = 0,69897 + 2, ist die Kennzahl 2 und die Mantisse 0,69897. Gedruckte Logarithmentafeln enthielten nur Mantissen.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Kapitel 4, Abschnitt 4.2 (Definitionen von Logarithmus und Exponentialfunktion).
- Napier, J. (1614). Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Edinburgh.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics, item 2-12 (exponential and logarithmic functions).
Häufig gestellte Fragen
Warum kann ich den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl nicht bilden?
Für eine positive Basis ist bʸ immer positiv, daher ergibt kein reelles y null oder ein negatives Ergebnis. Nähert sich x von oben der 0, strebt log_b(x) gegen −∞ (eine senkrechte Asymptote). Im Bereich der komplexen Zahlen existieren Logarithmen negativer Zahlen: ln(−x) = ln x + πi; diese Seite zeigt den Hauptwert für ein negatives Argument.
Was ist der Unterschied zwischen log, ln und log₂?
Es sind Logarithmen zu verschiedenen Basen: log ist in Schule und Technik meist die Basis 10, ln die Basis e und log₂ die Basis 2. In manchen Programmiersprachen und Mathematiklehrbüchern steht „log“ für den natürlichen Logarithmus, prüfen Sie daher die jeweilige Konvention.
Warum ist der natürliche Logarithmus in der Analysis so wichtig?
Weil d/dx ln x = 1/x ohne zusätzliche Konstante gilt. Für jede andere Basis gilt d/dx log_b x = 1 ÷ (x ln b). Die Zahl e ist die einzige Basis, bei der die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist, weshalb sie bei Wachstum, Zerfall und Zinseszins auftaucht.
Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer Basis, die mein Taschenrechner nicht hat?
Verwenden Sie den Basiswechsel: log_b(x) = ln x ÷ ln b (oder log₁₀ x ÷ log₁₀ b). Für log₃ 500: ln 500 ÷ ln 3 = 6,2146 ÷ 1,0986 = 5,6568.
Was ist ein Antilogarithmus?
Er ist die Umkehroperation: Der Antilogarithmus von y zur Basis b ist bʸ. Wenn log₁₀ x = 2.69897, dann ist x = 10^2.69897 ≈ 500. Verwenden Sie dazu den Reiter Antilog.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Weil 1 hoch jede Zahl wieder 1 ergibt, kann 1ʸ nie eine andere Zahl ergeben und log₁(x) wäre nicht definiert. Außerdem würde ln 1 = 0 in der Basiswechsel-Formel zu einer Division durch null führen.
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