Rechner für die quadratische Formel
Lösen Sie ax² + bx + c = 0 für reelle und komplexe Nullstellen, mit Diskriminante, exakter Wurzelform, Scheitelpunkt, Achse, Brennpunkt und Leitgerade der Parabel, Linearfaktor- und Scheitelform, einem Graphen und jedem Rechenschritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Mitternachtsformel gehört zur Standardalgebra, und jedes Rechenbeispiel wird von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Der Rechner berechnet die Diskriminante Δ = b² − 4ac, klassifiziert die Nullstellen und vereinfacht Quadratwurzeln ganzer Zahlen zu exakten Wurzelausdrücken wie (−5 ± √13) ÷ 2.
Die meisten Löser geben eine Dezimalzahl aus und hören dann auf. Dieser zeigt, warum die Nullstellen so lauten: die Diskriminante, die Parabel und die Linearfaktorform.
—
Graph der Parabel
y = ax² + bx + c mit Nullstellen, Scheitelpunkt, Symmetrieachse und y-Achsenabschnitt.
Rechenweg Schritt für Schritt
—
Was die Diskriminante verrät
Das Vorzeichen von Δ = b² − 4ac bestimmt die Art der Nullstellen.
| Diskriminante | Nullstellen | Graph | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Δ > 0, Quadratzahl | Zwei verschiedene rationale Nullstellen | Schneidet die x-Achse zweimal | x² − 5x + 6 = 0 → 2, 3 |
| Δ > 0, keine Quadratzahl | Zwei verschiedene irrationale Nullstellen | Schneidet die x-Achse zweimal | x² − 2 = 0 → ±√2 |
| Δ = 0 | Eine doppelte reelle Nullstelle | Berührt die x-Achse im Scheitelpunkt | x² − 6x + 9 = 0 → 3 |
| Δ < 0 | Zwei komplex konjugierte Nullstellen | Schneidet die x-Achse nie | x² + 2x + 5 = 0 → −1 ± 2i |
Rechenbeispiele
Höhe eines Wurfs
Ein Ball wird mit 20 m/s aus 1,5 m Höhe nach oben geworfen: h(t) = −4.9t² + 20t + 1.5. Wann landet er, und wie hoch fliegt er?
Landung: t = (20 + √429.4) ÷ 9.8 = 4.155 s
Höhepunkt bei t = 20 ÷ 9.8 = 2.041 s, Höhe 21.908 m
Goldener Schnitt
Der Goldene Schnitt löst x² − x − 1 = 0.
x = (1 ± √5) ÷ 2
φ = 1.618034, andere Nullstelle −0.618034
Komplexe Nullstellen
x² + 2x + 5 = 0.
x = (−2 ± 4i) ÷ 2
x = −1 ± 2i
Was ist die Mitternachtsformel?
Jede Gleichung ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 hat die Lösungen x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Sie ergibt sich aus der quadratischen Ergänzung der allgemeinen Gleichung. Der Ausdruck unter der Wurzel, Δ = b² − 4ac, ist die Diskriminante.
Die Parabel hinter der Gleichung
- Scheitelpunkt: (h, k) mit h = −b ÷ 2a und k = c − b² ÷ 4a. Er ist das Minimum, wenn a > 0, und das Maximum, wenn a < 0.
- Symmetrieachse: x = h; die Nullstellen liegen symmetrisch zu beiden Seiten davon.
- Brennpunkt und Leitgerade: (h, k + 1 ÷ 4a) und y = k − 1 ÷ 4a.
- Formen: Normalform ax² + bx + c; Linearfaktorform a(x − x₁)(x − x₂); Scheitelform a(x − h)² + k.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Abschnitt 1.11 (Zeros of polynomials) und Kapitel 1, Algebraic and Analytic Methods.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Was passiert, wenn a = 0 ist?
Die Gleichung ist dann nicht mehr quadratisch: Sie wird zu bx + c = 0, einer linearen Gleichung mit der einzigen Lösung x = −c ÷ b (falls b ≠ 0). Die Lösungsformel teilt durch 2a und ist daher nicht anwendbar. Dieser Rechner nennt Ihnen stattdessen die lineare Lösung.
Wie erscheinen komplexe Nullstellen in einem Graphen?
Bei Δ < 0 berührt die Parabel die x-Achse nicht, es gibt also keine reellen Nullstellen. Die komplexen Nullstellen p ± qi haben den Realteil p = −b ÷ 2a, der der Symmetrieachse entspricht, und den Imaginärteil q = √(−Δ) ÷ 2a, der angibt, wie weit der Scheitelpunkt von der Achse entfernt ist.
Warum ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Mittelpunkt der Nullstellen?
Die beiden Nullstellen sind −b ÷ 2a ± √Δ ÷ 2a, ihr Mittelwert ist also −b ÷ 2a – genau die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Eine Parabel ist symmetrisch zu ihrer Achse.
Was sind Summe und Produkt der Nullstellen?
Nach den Vietaschen Wurzelsätzen gilt x₁ + x₂ = −b ÷ a und x₁ · x₂ = c ÷ a. Damit können Sie Ihre Ergebnisse prüfen: Bei x² − 5x + 6 ergeben die Nullstellen 2 und 3 summiert 5 und multipliziert 6.
Wann sollte ich stattdessen das Faktorisieren oder die quadratische Ergänzung verwenden?
Das Faktorisieren geht am schnellsten, wenn die Nullstellen ganze Zahlen oder einfache Brüche sind. Die quadratische Ergänzung leitet die Formel her und liefert die Scheitelform. Die Mitternachtsformel funktioniert immer, unabhängig von den Koeffizienten.
Dürfen die Koeffizienten Dezimalzahlen oder Brüche sein?
Ja. Geben Sie Dezimalzahlen direkt ein. Exakte Wurzelformen werden angezeigt, wenn die Koeffizienten ganze Zahlen sind; andernfalls erhalten Sie genaue Dezimalwerte für die Nullstellen.
Verwandte Rechner
Weiter mit Algebra.