Quadratische-Formel-Rechner
Lösen Sie ax² + bx + c = 0 nach x auf, einschließlich Fällen mit komplexen Nullstellen.
So funktioniert dieser Rechner
Die Quadratische Formel löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Ist die Diskriminante negativ, sind die Nullstellen komplexe Zahlen.
a, b, c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
Die Diskriminante verstehen
Die Diskriminante (b² − 4ac) verrät Ihnen, welche Art von Nullstellen zu erwarten ist, noch bevor Sie die vollständige Gleichung lösen. Eine positive Diskriminante bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, null bedeutet genau eine doppelte reelle Nullstelle, und eine negative Diskriminante bedeutet zwei komplexe (nicht-reelle) Nullstellen.
Das ist nützlich, um schnell zu prüfen, ob eine quadratische Gleichung überhaupt reelle Lösungen hat — in angewandten Kontexten (wie Physikaufgaben) signalisiert eine negative Diskriminante oft, dass das beschriebene Szenario keine reale physikalische Lösung hat.
Ein Rechenbeispiel
Für x zum Quadrat minus 5x plus 6 gleich 0 (a=1, b=-5, c=6): Die Diskriminante ist 25 minus 24, also 1 (positiv), was zwei reelle Nullstellen ergibt: x gleich (5 plus oder minus 1) geteilt durch 2, also x gleich 3 oder x gleich 2.
Für x zum Quadrat plus 2x plus 5 gleich 0 (a=1, b=2, c=5): Die Diskriminante ist 4 minus 20, also minus 16, was komplexe Nullstellen ergibt: x gleich minus 1 plus oder minus 2i, da diese Gleichung keine reelle Lösung hat.
Die Diskriminante interpretieren
Die Diskriminante (b² − 4ac) zeigt die Art der Nullstellen einer quadratischen Gleichung, noch bevor Sie diese lösen: Eine positive Diskriminante bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, null bedeutet genau eine doppelte reelle Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse an einem Punkt), und eine negative Diskriminante bedeutet zwei komplexe Nullstellen (die Parabel schneidet die x-Achse nie).
Das hängt direkt mit dem Graphen zusammen — die Nullstellen einer quadratischen Gleichung sind die x-Achsenabschnitte ihrer Parabel, sodass die Diskriminante im Wesentlichen zeigt, wie oft (wenn überhaupt) die Parabel die x-Achse schneidet.
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn die Diskriminante negativ ist?
Die Gleichung hat zwei komplexe (nicht-reelle) Nullstellen. Dieser Rechner zeigt sie in der Form a ± bi.
Was, wenn a = 0 ist?
Die Gleichung ist dann nicht mehr quadratisch (sie wird linear), daher gilt die Quadratische Formel nicht — lösen Sie stattdessen direkt bx + c = 0.
Was bedeutet es, wenn die Nullstellen komplexe Zahlen sind?
Es bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat — grafisch schneidet die Parabel die x-Achse nie. Komplexe Nullstellen sind mathematisch gültig, stellen aber keinen reellen x-Achsenabschnitt dar.
Kann ich das für Gleichungen nutzen, die noch nicht in Form ax² + bx + c = 0 sind?
Bringen Sie Ihre Gleichung zuerst in diese Standardform — verschieben Sie alle Terme auf eine Seite und setzen Sie sie gleich null, dann bestimmen Sie Ihre Koeffizienten a, b und c.
Was bedeutet es, wenn die Diskriminante null ist?
Es bedeutet, dass die quadratische Gleichung genau eine doppelte reelle Nullstelle hat — grafisch berührt der Scheitelpunkt der Parabel die x-Achse an genau einem Punkt, statt sie zu schneiden.
Was ist die Quadratische Formel?
Die Quadratische Formel lautet x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a. Sie findet die Werte von x, die jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 lösen. Das ± bedeutet, dass es meist zwei Lösungen (zwei Nullstellen) gibt.
Was ist die Diskriminante in der Quadratischen Formel?
Die Diskriminante ist b² - 4ac (der Teil unter der Wurzel). Ist sie positiv, hat die Gleichung zwei reelle Nullstellen. Ist sie null, gibt es genau eine reelle Nullstelle. Ist sie negativ, sind die Nullstellen komplexe (imaginäre) Zahlen.
Wie nutzt man die Quadratische Formel Schritt für Schritt?
Schritt 1: Schreiben Sie die Gleichung in Standardform ax² + bx + c = 0. Schritt 2: Bestimmen Sie a, b und c. Schritt 3: Berechnen Sie die Diskriminante: b² - 4ac. Schritt 4: Wenden Sie die Formel an: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a. Schritt 5: Lösen Sie für + und −, um beide Nullstellen zu erhalten.