Vektorrechner
Addieren und subtrahieren Sie Vektoren, bestimmen Sie Betrag, Einheitsvektor, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, den Winkel zwischen zwei Vektoren und die Projektion des einen auf den anderen — in 2D oder 3D, mit Determinanten-Rechenweg.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jede Formel ist Standard-Vektoralgebra, und die Rechenbeispiele wurden von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er verknüpft die Komponenten direkt: Summen von Produkten für das Skalarprodukt, eine 3×3-Determinante für das Kreuzprodukt und der Arkuskosinus des normierten Skalarprodukts für den Winkel.
Physik und Grafik verwenden diese Operationen ständig. Wenn man die Vektoren gezeichnet und die Algebra ausgeschrieben sieht, fallen Vorzeichen- und Reihenfolgefehler leicht auf.
—
Vektordiagramm
Vom Ursprung aus gezeichnete Vektoren; 3D-Vektoren verwenden eine schiefe Projektion.
Rechenweg Schritt für Schritt
—
Vektoroperationen im Überblick
Was jedes Produkt liefert und was es bedeutet.
| Operation | Schreibweise | Ergebnis | Dimensionen | Bedeutung |
|---|---|---|---|---|
| Skalarprodukt | u · v | Skalar | Beliebig (2D, 3D, n-D) | Verrichtete Arbeit; wie gleichgerichtet zwei Vektoren sind |
| Kreuzprodukt | u × v | Vektor | 3D (und 7D) | Drehmoment, Drehimpuls, Flächennormalen |
| Skalare Projektion | compv u | Skalar | Beliebig | Länge des Schattens von u entlang v |
| Vektorielle Projektion | projv u | Vektor | Beliebig | Der zu v parallele Anteil von u |
| Spatprodukt | u · (v × w) | Skalar | 3D | Vorzeichenbehaftetes Volumen eines Spats |
Rechenbeispiele
Von einer Kraft verrichtete Arbeit
Eine Kraft F = (10, 0, 5) N verschiebt ein Objekt um d = (3, 4, 0) m.
Drehmoment an einem Schraubenschlüssel
Ortsvektor r = (0.5, 0, 0) m, Kraft F = (0, 20, 0) N.
= (0, 0, 10) N·m
Winkel zwischen Vektoren
u = (3, 4, 0) und v = (1, 2, 2).
cos θ = 11 ÷ 15 = 0.7333
θ = 42.8334°
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor hat sowohl Betrag als auch Richtung und wird durch seine Komponenten angegeben, etwa u = (3, 4, 0). Sein Betrag ist |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²), und die Division durch ihn ergibt den Einheitsvektor û = u ÷ |u| der Länge 1.
Verwendete Formeln
- Skalarprodukt: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v| cos θ.
- Winkel: θ = arccos[(u · v) ÷ (|u||v|)], zwischen 0° und 180°.
- Kreuzprodukt: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ); seine Länge |u||v| sin θ ist die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms.
- Projektion: projv u = [(u · v) ÷ |v|²] v und compv u = (u · v) ÷ |v|.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Gibbs, J. W. & Wilson, E. B. (1901). Vector Analysis. Yale University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics — notation for vectors and their products.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist das Skalarprodukt ein Skalar, das Kreuzprodukt aber ein Vektor?
Das Skalarprodukt misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, und ist daher eine einzelne Zahl. Das Kreuzprodukt erzeugt einen neuen Vektor senkrecht zu beiden, dessen Länge der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms entspricht. In 2D gibt es innerhalb der Ebene keine senkrechte Richtung, daher reduziert sich das Kreuzprodukt auf eine einzige Zahl (die z-Komponente).
Was bedeutet ein Skalarprodukt von null?
Die Vektoren stehen senkrecht (orthogonal) aufeinander, sofern keiner der Nullvektor ist, da cos 90° = 0. Ein negatives Skalarprodukt bedeutet, dass der Winkel stumpf ist; ein positives, dass er spitz ist.
Was bedeutet ein Kreuzprodukt von null?
Die Vektoren sind parallel oder antiparallel (oder einer ist null), da sin 0° = sin 180° = 0. Sie spannen keine Fläche auf.
Wie legt die Rechte-Hand-Regel die Richtung des Kreuzprodukts fest?
Zeigen Sie mit den Fingern der rechten Hand entlang u, krümmen Sie sie zu v hin, dann zeigt Ihr Daumen entlang u × v. Vertauscht man die Reihenfolge, kehrt sich die Richtung um: v × u = −(u × v).
Was ist der Unterschied zwischen skalarer und vektorieller Projektion?
Die skalare Projektion ist die vorzeichenbehaftete Länge des Schattens von u entlang v. Die vektorielle Projektion ist diese Länge in Richtung von v. Die Differenz u − projv u ist der zu v senkrechte Anteil von u.
Warum gibt es das Kreuzprodukt nur in 3D?
Die Konstruktion benötigt eine eindeutige Richtung senkrecht zu zwei gegebenen Richtungen, die nur in drei Dimensionen existiert (und mit anderer Algebra in sieben). In anderen Dimensionen verallgemeinert das äußere Produkt es.
Verwandte Rechner
Weiter mit Geometrie.