Satz-des-Pythagoras-Rechner
Berechnen Sie die Hypotenuse oder eine fehlende Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, messen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten im 3D-Raum oder prüfen Sie, ob drei ganze Zahlen ein pythagoreisches Tripel bilden – mit exakten Wurzelergebnissen, Winkeln, Fläche und jedem Rechenschritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Der Satz ist Euklids Proposition I.47, und jedes Rechenbeispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er quadriert die bekannten Seiten, addiert oder subtrahiert und zieht die Quadratwurzel. Ganzzahlige Ergebnisse werden als exakte Werte angezeigt, andere Wurzeln als vereinfachte Wurzelausdrücke wie 6√2.
Eine Seite für die vier häufigsten Aufgaben: Hypotenuse, fehlende Kathete, 3D-Abstand und Tripel-Prüfung – mit maßstabsgetreuer Geometrie.
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Geometrischer Beweis: die Quadrate über den Seiten
Euklids Proposition I.47: Das Quadrat über der Hypotenuse hat denselben Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Besondere rechtwinklige Dreiecke
3-4-5-Dreieck Verhältnis 3 : 4 : 5
Das kleinste pythagoreische Tripel. Handwerker nutzen es, um zu prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist: Messen Sie 3 entlang der einen Kante und 4 entlang der anderen, dann muss die Diagonale genau 5 betragen (oder ein Vielfaches davon, etwa 9-12-15).
45°-45°-90°-Dreieck Verhältnis 1 : 1 : √2
Ein an der Diagonale halbiertes Quadrat. Die Katheten sind gleich lang, und die Hypotenuse ist die Kathete mal √2 (etwa 1,4142).
30°-60°-90°-Dreieck Verhältnis 1 : √3 : 2
Die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Die Hypotenuse ist doppelt so lang wie die kürzeste Kathete, und die andere Kathete ist die kürzeste Kathete mal √3.
Euklids Formel für Tripel m > n > 0
Für ganze Zahlen m > n > 0 bilden a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² stets ein Tripel. Sind m und n teilerfremd und von unterschiedlicher Parität, ist das Tripel primitiv.
Hier wird der Satz zweimal angewendet: erst über den Boden, dann in die Höhe.
Rechenbeispiele
Fundament rechtwinklig abstecken
Beim Abstecken eines Rechtecks von 3 m mal 4 m sollte die Diagonale genau 5 m betragen, wenn die Ecke ein echter rechter Winkel ist.
Weicht die Diagonale auch nur um 2 cm ab, ist die Ecke nicht rechtwinklig.
Bildschirmgröße
Ein 16:9-Fernseher hat eine Diagonale von 55 Zoll. Wie groß sind Breite und Höhe?
Breite = 55 × 16 ÷ 18,358 = 47,94 Zoll
Höhe = 55 × 9 ÷ 18,358 = 26,96 Zoll
3D-Abstand
Zwei Punkte, (1, 2, 3) und (4, 6, 15).
d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Eine ganze Zahl, denn (3, 4, 12, 13) ist ein pythagoreisches Quadrupel.
Was ist der Satz des Pythagoras?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse (der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, der Katheten: a² + b² = c². Er ist ein Sonderfall des Kosinussatzes, bei dem der Term −2ab·cos C entfällt, weil cos 90° = 0 ist.
So verwenden Sie ihn
- Hypotenuse: c = √(a² + b²).
- Fehlende Kathete: a = √(c² − b²), wobei die Hypotenuse die längste Seite sein muss.
- Winkel: tan α = a ÷ b, also α = arctan(a ÷ b), und der andere spitze Winkel beträgt 90° − α.
- Fläche und Radien: Fläche = ½ab; Inkreisradius = (a + b − c) ÷ 2; Umkreisradius = c ÷ 2.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Euklid, Elemente, Buch I, Proposition 47 (Satz des Pythagoras) und Proposition 48 (seine Umkehrung).
- Maor, E. (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Warum gilt a² + b² = c² nur für rechtwinklige Dreiecke?
Die allgemeine Regel ist der Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Bei einem rechten Winkel ist cos 90° = 0, und der letzte Term entfällt. Bei einem spitzen Winkel ist c² kleiner als a² + b², bei einem stumpfen Winkel größer.
Was ist ein primitives pythagoreisches Tripel?
Eine Menge ganzer Zahlen (a, b, c) mit a² + b² = c², deren größter gemeinsamer Teiler 1 ist, etwa 3-4-5 oder 5-12-13. Vielfache wie 6-8-10 sind weiterhin Tripel, aber nicht primitiv.
Wie finde ich den Abstand zwischen zwei Punkten im 3D-Raum?
Quadrieren Sie die Differenzen in x, y und z, addieren Sie sie und ziehen Sie die Quadratwurzel. Das ist der zweimal angewendete Satz des Pythagoras und liefert zugleich die Raumdiagonale eines Quaders mit den Kanten Δx, Δy und Δz.
Was bedeutet ein exaktes Wurzelergebnis wie 6√2?
Wenn die Zahl unter der Wurzel keine Quadratzahl ist, ist die Wurzel irrational. Sie lässt sich vereinfachen, indem man Quadratfaktoren herauszieht: √72 = √(36 × 2) = 6√2, was etwa 8,4853 entspricht. Die exakte Form vermeidet Rundungen.
Kann die Hypotenuse kürzer sein als eine Kathete?
Nein. Die Hypotenuse ist stets die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, da c² = a² + b² größer ist als a² oder b². Beim Berechnen einer Kathete muss die eingegebene Hypotenuse länger sein als die bekannte Kathete.
Funktioniert es mit beliebigen Einheiten?
Ja, solange alle Seiten dieselbe Einheit verwenden. Das Ergebnis liegt in dieser Einheit vor; Flächen in Quadrateinheiten. Das Feld mit den Einheitenumrechnungen rechnet das Ergebnis in andere gängige Längeneinheiten um.
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