Dreiecksrechner
Lösen Sie jedes Dreieck aus drei bekannten Größen: alle Seiten und Winkel, Fläche, Umfang, Inkreisradius, Umkreisradius und Höhen — mit ausgeführtem Kosinus- und Sinussatz und beiden Lösungen, wenn der SSA-Fall mehrdeutig ist.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jede Formel folgt der Standard-Trigonometrie, und die Rechenbeispiele wurden von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er wendet den Kosinus- oder Sinussatz auf den bekannten Fall an, prüft, dass die Winkel sich zu 180° addieren, und kontrolliert die Fläche mit der Heronschen Formel.
Die meisten Rechner verbergen den mehrdeutigen SSA-Fall. Dieser erkennt ihn, zeigt beide Dreiecke und erklärt, warum sie existieren.
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P ÷ 2
K ÷ s
abc ÷ 4K
2K ÷ Seite
Dreiecksdiagramm
Maßstabsgetreu aus den gelösten Seiten und Winkeln gezeichnet. Schalten Sie die Überlagerungen unten ein und aus.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Der mehrdeutige SSA-Fall
Bei zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, kann der Sinussatz null, eine oder zwei Lösungen liefern. Vergleichen Sie Seite a mit der Höhe h = b·sin A.
a < h kein Dreieck
Seite a ist zu kurz, um die Grundlinie zu erreichen, es gibt also keine Lösung (sin B würde 1 überschreiten).
a = h rechtwinkliges Dreieck
Seite a berührt die Grundlinie gerade eben im rechten Winkel und ergibt genau eine Lösung.
h < a < b zwei Dreiecke
Seite a kann in zwei Punkten auf die Grundlinie treffen: mit einem spitzen und einem stumpfen Winkel B (B₂ = 180° − B₁).
a ≥ b ein Dreieck
Seite a ist mindestens so lang wie b, daher funktioniert nur der spitze Winkel B. Es gibt eine eindeutige Lösung.
Verwendete Formeln
Kosinussatz
Berechnet eine Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SAS) oder einen Winkel aus drei Seiten (SSS).
Sinussatz
Setzt jede Seite zum Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels ins Verhältnis; R ist der Umkreisradius.
Fläche
Die trigonometrische Flächenformel und die Heronsche Formel stimmen überein; die Seite prüft beide.
Rechenbeispiele
Vermessungsdreieck (SAS)
Zwei Grenzlinien a = 7 m und b = 10 m treffen sich bei C = 65°.
c = 9.4781 m
A = 42.017°, B = 72.983°
K = ½·7·10·sin 65° = 31.7208 m²
3-4-5-Dreieck (SSS)
Seiten 3, 4 und 5.
A = arccos(0.8) = 53.130°
B = arccos(0.6) = 36.870°
K = 6
Mehrdeutiger Fall (SSA)
a = 8, b = 10, A = 35°: h = 10·sin 35° = 5.736, also h < a < b.
B₁ = 45.805° → C₁ = 99.195°, c₁ = 13.768
B₂ = 134.195° → C₂ = 10.805°, c₂ = 2.615
Was bedeutet „ein Dreieck lösen“?
Ein Dreieck zu lösen bedeutet, aus drei bekannten Größen, von denen mindestens eine eine Seite ist, alle drei Seiten und alle drei Winkel zu bestimmen. Die bekannte Kombination wird nach der Reihenfolge der Teile benannt: SSS (drei Seiten), SAS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel), ASA (zwei Winkel und die eingeschlossene Seite), AAS (zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite) und SSA (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel).
Welche Formel für welchen Fall?
- SSS und SAS: zuerst der Kosinussatz, dann Sinus- oder Kosinussatz für die übrigen Winkel.
- ASA und AAS: Der dritte Winkel ist 180° − A − B; anschließend liefert der Sinussatz die Seiten.
- SSA: Der Sinussatz liefert sin B; prüfen Sie auf null, eine oder zwei Lösungen.
- AAA (drei Winkel) lässt sich nicht lösen — es legt die Form fest, aber nicht die Größe.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 4.16, Solution of triangles.
- Heron of Alexandria, Metrica (c. 60 AD) — the area formula from the three sides.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Warum heißt SSA der mehrdeutige Fall?
Da die Sinusfunktion für einen spitzen Winkel und seinen Supplementwinkel denselben Wert liefert (sin θ = sin(180° − θ)), kann der bekannte Winkel durch einen spitzen oder einen stumpfen Winkel B erreicht werden. Gilt h < a < b, sind beide gültig und zwei verschiedene Dreiecke passen zu den Daten.
Was ist die Heronsche Formel und wann ist sie besser als ½ × Grundseite × Höhe?
Die Heronsche Formel liefert die Fläche allein aus den drei Seiten: K = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], wobei s der halbe Umfang ist. Sie ist praktisch, wenn Sie alle drei Seiten kennen, aber keine Höhe und keinen Winkel.
Wann bilden drei Seitenlängen ein gültiges Dreieck?
Die Dreiecksungleichung: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Ist die längste Seite gleich der Summe der beiden anderen, ist das Dreieck entartet (eine flache Linie); ist sie länger, existiert kein Dreieck.
Wie rechne ich zwischen Grad, Bogenmaß und Gon um?
Eine volle Drehung entspricht 360° = 2π Bogenmaß = 400 Gon. Somit gilt: Bogenmaß = Grad × π ÷ 180 und Gon = Grad × 10 ÷ 9. Der Winkeleinheiten-Schalter auf dieser Seite rechnet Ihre Eingaben und Ergebnisse für Sie um.
Warum bestimmen drei Winkel allein kein Dreieck?
Jedes vergrößerte oder verkleinerte Dreieck behält dieselben Winkel, daher beschreibt AAA eine ganze Familie ähnlicher Dreiecke. Sie benötigen mindestens eine Seite, um die Größe festzulegen.
Wie wird das Dreieck klassifiziert?
Nach den Seiten ist es gleichseitig (alle gleich), gleichschenklig (zwei gleich) oder ungleichseitig (keine gleich). Nach den Winkeln ist es spitzwinklig (alle unter 90°), rechtwinklig (einer genau 90°) oder stumpfwinklig (einer über 90°).
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