Trigonometrie-Rechner
Bestimmen Sie Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens jedes Winkels in Grad, Bogenmaß oder Gon — mit exakten Wurzelwerten für Sonderwinkel, dem Einheitskreis, Umkehr- und Hyperbelfunktionen und einem Löser für rechtwinklige Dreiecke.
Verfasst von Suhaib Hassan. Exakte Werte und Identitäten folgen Standardwerken und werden von Hand geprüft. Unsere Methodik.
Er rechnet den Winkel ins Bogenmaß um, wertet die Funktion in Gleitkommazahlen mit doppelter Genauigkeit aus und ordnet Sonderwinkeln ihre exakten Wurzelformen zu.
Er zeigt, woher ein Wert stammt — Einheitskreis, Referenzwinkel und Quadrant — und nicht nur die Zahl.
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Einheitskreis
Der Punkt (cos θ, sin θ) auf dem Kreis mit Radius 1.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Exakte Werte der Sonderwinkel
Prägen Sie sich diese ein, und Sie können die meisten anderen durch Symmetrie herleiten.
| θ (Grad) | θ (rad) | sin | cos | tan | csc | Sek. | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | undef. | 1 | undef. |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | 2 | 2√3/3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 2√3/3 | 2 | √3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | undef. | 1 | undef. | 0 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | undef. | −1 | undef. |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | undef. | −1 | undef. | 0 |
Wichtige Identitäten
Pythagoreisch
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ
Folgen aus x² + y² = 1 auf dem Einheitskreis.
Doppelter Winkel
cos 2θ = cos²θ − sin²θ
tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)
Eulersche Formel
cosh x = (eˣ + e⁻ˣ) ÷ 2
sinh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ 2
Verbindet Kreis- und Hyperbelfunktionen.
Rechenbeispiele
Höhe eines Turms
Aus 50 m Entfernung beträgt der Höhenwinkel zur Spitze 35°.
Leiter
Eine 5 m lange Leiter lehnt unter 70° zum Boden. Wie hoch reicht sie?
Wellenphase
Welchen Wert hat eine Sinuswelle mit Amplitude 1 bei der Phase 210°?
sin 210° = −1/2
Was sind die trigonometrischen Funktionen?
Für einen Winkel θ in einem rechtwinkligen Dreieck gilt sin θ = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, cos θ = Ankathete ÷ Hypotenuse und tan θ = Gegenkathete ÷ Ankathete. Ihre Kehrwerte sind csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ und cot θ = 1/tan θ. Auf dem Einheitskreis sind cos θ und sin θ die x- und y-Koordinaten des Punkts beim Winkel θ, wodurch die Definitionen auf alle Winkel erweitert werden.
Grad, Bogenmaß und Gon
Eine volle Drehung entspricht 360° = 2π rad = 400 gon. Umrechnung mit rad = Grad × π ÷ 180 und gon = Grad × 10 ÷ 9. Analysis und die meisten Naturwissenschaften verwenden das Bogenmaß, da Ableitungen wie d/dx sin x = cos x nur im Bogenmaß gelten.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapter 4 — sections 4.14 (trigonometric functions) and 4.28 (hyperbolic functions).
- Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, ch. 8 — trigonometric quantities arising from the circle.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Warum verwendet man in der Analysis Bogenmaß statt Grad?
Das Bogenmaß ist das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius und braucht daher keinen willkürlichen Skalierungsfaktor. Der wichtige Grenzwert lim sin x ÷ x = 1 gilt nur im Bogenmaß, und daher gilt d/dx sin x = cos x. In Grad tritt in jeder Ableitung ein zusätzlicher Faktor π/180 auf.
Warum ist tan 90° nicht definiert?
tan θ = sin θ ÷ cos θ, und cos 90° = 0, der Quotient teilt also durch null. Die Tangensfunktion hat vertikale Asymptoten bei ungeraden Vielfachen von 90°, wo auch der Sekans nicht definiert ist.
Welche Wertebereiche haben die Umkehrfunktionen?
Die Hauptwerte sind: arcsin in −90° bis 90°, arccos in 0° bis 180°, arctan in −90° bis 90° (exklusiv), arccot in 0° bis 180° (exklusiv). Da sich trigonometrische Funktionen wiederholen, haben auch andere Winkel denselben Wert; die Registerkarte „Umkehrfunktion“ listet sie innerhalb einer vollen Drehung auf.
Was ist ein Referenzwinkel?
Es ist der spitze Winkel zwischen dem Endschenkel und der x-Achse. Jeder trigonometrische Wert von θ entspricht dem Wert seines Referenzwinkels, bis auf ein Vorzeichen, das vom Quadranten abhängt (Alle-Sinus-Tangens-Kosinus: alle positiv in I, Sinus in II, Tangens in III, Kosinus in IV).
Wie genau ist das Ergebnis?
Die Funktionen werden in IEEE-754-Doppelpräzision ausgewertet, also mit etwa 15 bis 16 signifikanten Stellen. Werte, die mathematisch null sind (wie cos 90°), werden auf exakt 0 bereinigt. Exakte Wurzelformen werden für Winkel angezeigt, die Vielfache von 30° oder 45° sind.
Was sind Hyperbelfunktionen?
sinh, cosh und tanh werden aus Exponentialfunktionen aufgebaut: sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 und cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2. Sie erfüllen cosh²x − sinh²x = 1 und beschreiben hängende Seile (Kettenlinien) sowie die relativistische Rapidität.
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