Kreisrechner
Geben Sie Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche an, um die anderen drei zu erhalten, oder berechnen Sie einen Sektor (Bogenlänge und Fläche), ein Segment aus Sehne und Höhe oder einen Ring (Kreisring) – mit exakten Werten in Vielfachen von π und jedem Rechenschritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Alle Formeln gehören zur Standardgeometrie nach Euklid, und jedes Rechenbeispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er rechnet Ihre Eingabe in den Radius um und wendet dann C = 2πr und A = πr² an, mit den Formeln für Sektor, Sehne und Segment aus dem Mittelpunktswinkel.
Eine Seite deckt die ganze Kreisfamilie ab – Vollkreis, Sektor, Segment und Ring – und zeichnet jede Form maßstabsgetreu, sodass Sie die Geometrie nachprüfen können.
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Zeichnung (maßstabsgetreu)
Der Kreis mit markiertem Radius und Durchmesser.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Kreisformeln im Überblick
Umfang, Fläche und Winkelbereich für jede Form der Kreisfamilie (θ im Bogenmaß).
| Form | Rand / Bogen | Fläche | Winkel |
|---|---|---|---|
| Vollkreis | C = 2πr = πd | A = πr² | θ = 2π (360°) |
| Halbkreis | πr + 2r | ½πr² | θ = π (180°) |
| Viertelkreis | ½πr + 2r | ¼πr² | θ = π/2 (90°) |
| Kreissektor | s = rθ (Bogenlänge) | A = ½r²θ | 0 < θ ≤ 2π |
| Kreissegment | Sehne c = 2r·sin(θ/2) | A = ½r²(θ − sin θ) | 0 < θ ≤ 2π |
| Kreisring | 2π(R + r) | A = π(R² − r²) | R > r > 0 |
Rechenbeispiele
Fahrradrad
Ein Rad hat einen Durchmesser von 26 Zoll. Wie weit rollt es bei einer Umdrehung?
Pizzastück
Eine Pizza mit Radius 10 in wird geviertelt (θ = 90°).
Sektorfläche = ½r²θ = 50 × π/2 = 78,540 in²
Lochkreis-Abstand
Acht gleichmäßig verteilte Schrauben auf einem Teilkreisdurchmesser von 100 mm (R = 50 mm).
= 100 × sin 22,5° = 38,27 mm
Bei einer Sehne von 10 und einer Höhe von 2: r = 100 ÷ 16 + 1 = 7,25. Den Rest sehen Sie im Reiter Segment.
Was ist π und warum taucht es auf?
π (Pi) ist das Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser, C ÷ d ≈ 3,14159. Da alle Kreise skalierte Kopien voneinander sind, ist dieses Verhältnis für jeden Kreis gleich. Johann Lambert bewies 1761, dass π irrational ist, und Ferdinand von Lindemann 1882, dass es transzendent ist.
Wichtige Formeln
- Durchmesser und Radius: d = 2r.
- Umfang: C = 2πr = πd.
- Fläche: A = πr² = C² ÷ 4π.
- Sektor: Bogenlänge s = rθ und Fläche ½r²θ, mit θ im Bogenmaß (Bogenmaß = Grad × π ÷ 180).
- Segment: Fläche ½r²(θ − sin θ); Sehne c = 2r sin(θ/2); Höhe h = r(1 − cos(θ/2)).
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Archimedes, Measurement of a Circle (ca. 250 v. Chr.), Satz 1 — die Fläche eines Kreises entspricht der eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten r und C.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
- NIST Special Publication 811, Guide for the Use of the International System of Units (SI) — das Radiant als Einheit des ebenen Winkels.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist der Umfang geteilt durch den Durchmesser immer π?
Jeder Kreis ist eine skalierte Kopie jedes anderen Kreises. Die Skalierung multipliziert Umfang und Durchmesser mit demselben Faktor, ihr Verhältnis ändert sich also nie. Dieses konstante Verhältnis ist π.
Wie finde ich den Radius aus der Fläche oder dem Umfang?
Aus der Fläche: r = √(A ÷ π). Aus dem Umfang: r = C ÷ 2π. Dieser Rechner kann beides: Wählen Sie im ersten Reiter, was Sie kennen.
Was ist der Unterschied zwischen einem Sektor und einem Segment?
Ein Sektor ist ein „Tortenstück“, begrenzt von zwei Radien und einem Bogen. Ein Segment ist die Fläche zwischen einem Bogen und seiner Sehne. Die Segmentfläche ist die Sektorfläche minus das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne.
Wie finde ich die Fläche eines Segments, ohne den Winkel zu kennen?
Bestimmen Sie aus der Sehne c und der Höhe h zuerst r = c² ÷ (8h) + h ÷ 2, dann den Mittelpunktswinkel θ = 2·atan2(c ÷ 2, r − h) und verwenden Sie die Segmentformel ½r²(θ − sin θ). Der Reiter Segment erledigt das für Sie.
Soll ich Grad oder Bogenmaß verwenden?
Die Formeln für Bogenlänge und Sektorfläche, s = rθ und ½r²θ, erfordern das Bogenmaß. Liegt Ihr Winkel in Grad vor, multiplizieren Sie zuerst mit π ÷ 180 – oder wählen Sie im Reiter Sektor einfach „deg“, dann rechnet der Rechner für Sie um.
Was ist ein Kreisring?
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit den Radien R (außen) und r (innen). Seine Fläche beträgt π(R² − r²), was sich auch als π(R − r)(R + r) schreiben lässt.
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