3D-Abstandsrechner
Bestimmen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten im 3D-Raum, den Abstand eines Punkts von einer Ebene, die Länge eines Vektors oder die Maße eines Begrenzungsquaders – mit Mittelpunkt, exakter Wurzelform, Richtungswinkeln und alternativen Abstandsmaßen (Manhattan, Chebyshev, Minkowski).
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Formeln gehören zur üblichen analytischen Geometrie, und jedes Rechenbeispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er subtrahiert Koordinaten, quadriert und addiert die Differenzen und zieht die Quadratwurzel; ganzzahlige und vereinfachte Wurzelformen werden exakt ermittelt.
Der 3D-Abstand ist der zweimal angewandte Satz des Pythagoras. Diese Seite zeigt den Rechenweg und die verwandten Maße, die in Grafik, Robotik und CAD verwendet werden.
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3D-Diagramm
Schrägprojektion mit dem Begrenzungsquader der beiden Punkte.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Abstandsmaße im Vergleich
Verschiedene Arten, „wie weit“ zu messen, dargestellt für die Verschiebung (Δx, Δy, Δz) = (1, 2, 3).
| Metrisch | Formel | Weg | Wert für (1, 2, 3) | Verwendet in |
|---|---|---|---|---|
| Euklidisch (L²) | √(Δx² + Δy² + Δz²) | Gerade Linie | √14 ≈ 3.7417 | Physik, Grafik, CAD |
| Manhattan (L¹) | |Δx| + |Δy| + |Δz| | Nur entlang der Achsen | 6 | Rasterrouting, Lagerwege |
| Chebyshev (L∞) | max(|Δx|, |Δy|, |Δz|) | Unabhängige Achsenbewegungen | 3 | Portalmaschinen, König im Schach |
| Minkowski (p = 3) | (|Δx|³ + |Δy|³ + |Δz|³)^(1/3) | Verallgemeinert | 36^(1/3) ≈ 3.3019 | Maschinelles Lernen, Clustering |
Rechenbeispiele
Zwei Flugzeuge
Positionen (1, 2, 3) und (5, 6, 9) km.
d² = 16 + 16 + 36 = 68
d = √68 = 2√17 ≈ 8.2462 km
Quaderdiagonale
Der längste gerade Gegenstand, der in einen Quader von 3 × 4 × 12 cm passt.
Punkt zu Ebene
Abstand des Punktes (1, 2, 3) von der Ebene 2x − y + 2z − 4 = 0.
= 2 ÷ 3 = 0.6667
Was ist der 3D-Abstand?
Der geradlinige Abstand zwischen (x₁, y₁, z₁) und (x₂, y₂, z₂) ist d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]. Er ergibt sich, indem der Satz des Pythagoras zweimal angewendet wird: zuerst über den Boden (Δx, Δy), dann über die Höhe (Δz).
Abstand Punkt–Ebene
Für eine Ebene Ax + By + Cz + D = 0 und einen Punkt (x₀, y₀, z₀) beträgt der kürzeste Abstand |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| ÷ √(A² + B² + C²). Der Lotfußpunkt ergibt sich, indem man vom Punkt den vorzeichenbehafteten Abstand mal den Einheitsnormalenvektor abzieht.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Euklid, Elemente, Buch XI — Grundlagen der Raumgeometrie und der senkrechten räumlichen Projektion.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
- NIST Special Publication 811, Guide for the Use of the International System of Units (SI) — Längeneinheiten.
Häufig gestellte Fragen
Worin unterscheidet sich der 3D-Abstand vom 2D-Abstand?
In 2D verwenden Sie √(Δx² + Δy²). In 3D kommt unter der Wurzel ein dritter Term Δz² hinzu. Geometrisch wird der 2D-Abstand zur einen Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete der Höhenunterschied ist.
Was ist der Unterschied zwischen euklidischem und Manhattan-Abstand?
Der euklidische Abstand ist die Länge der Luftlinie. Der Manhattan-Abstand summiert die Beträge der Koordinatendifferenzen, also die Länge eines Wegs, der nur entlang der Achsen verläuft, wie Straßen in einem Raster. Der Manhattan-Abstand ist nie kürzer als der euklidische.
Was sind Richtungskosinus?
Das sind die Kosinus der Winkel, die die Verschiebung mit der x-, y- und z-Achse bildet: cos α = Δx ÷ d, cos β = Δy ÷ d, cos γ = Δz ÷ d. Sie erfüllen stets cos²α + cos²β + cos²γ = 1 und ergeben den Einheitsvektor entlang der Geraden.
Was sind die Kugelkoordinaten einer Verschiebung?
Der Abstand r = d, der Azimut θ = atan2(Δy, Δx), gemessen in der xy-Ebene, und der Polarwinkel φ = arccos(Δz ÷ d), gemessen von der +z-Achse.
Was gilt, wenn die Ebenengleichung als ax + by + cz = k eingegeben wird?
Bringen Sie k auf die linke Seite: Geben Sie D = −k ein. Zum Beispiel wird 2x − y + 2z = 4 zu A = 2, B = −1, C = 2, D = −4.
Spielt die Einheit eine Rolle?
Nein, solange alle Koordinaten dieselbe Einheit verwenden. Das Einheitenfeld ist nur eine Beschriftung, die in die Ergebnisse übernommen wird; die Rechnung selbst ist einheitenfrei.
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