Polynomrechner
Dividieren Sie Polynome (mit einer Tabelle zur synthetischen Division bei linearen Divisoren), bestimmen Sie reelle und komplexe Nullstellen sowie die faktorisierte Form, addieren, subtrahieren und multiplizieren Sie oder werten Sie P(x) mit dem Horner-Verfahren aus – mit Graph und allen Rechenschritten.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Algorithmen sind Standard, und jedes Rechenbeispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Der Rechner zerlegt Ihren Ausdruck in Koeffizienten, dividiert mit dem klassischen Polynomdivisionsverfahren, prüft rationale Nullstellen und verfeinert den Rest numerisch (Durand–Kerner), um alle komplexen Nullstellen zu finden.
Er zeigt den Rechenweg – das Schema der synthetischen Division, die Probe mit dem Restsatz und die faktorisierte Form – und nicht nur das Ergebnis.
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Schema der synthetischen Division
Für einen Divisor x − c: Übernehmen Sie den ersten Koeffizienten, multiplizieren Sie ihn mit c, addieren Sie das Ergebnis zum nächsten Koeffizienten und wiederholen Sie das Verfahren.
Graph von P(x)
Reelle Nullstellen sind grün markiert, der y-Achsenabschnitt dunkel.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Welche Methode ist die richtige?
Vier Standardwerkzeuge für den Umgang mit Polynomen.
| Methode | Form des Divisors | Aufwand | Am besten geeignet für |
|---|---|---|---|
| Polynomdivision | Jedes Polynom niedrigeren Grades | O(deg P · deg Q) | Allgemeine Division mit Rest |
| Synthetische Division (Ruffini) | x − c (normiert linear) | O(n) | Schnelle Division und Restsatz |
| Horner-Schema | Auswertung an einer Stelle | n Multiplikationen, n Additionen | Effiziente, numerisch stabile Auswertung |
| Satz über rationale Nullstellen | p/q, p | a₀, q | aₙ | Endliche Kandidatenliste | Exakte rationale Nullstellen finden |
| Vorzeichenregel von Descartes | Vorzeichenwechsel in P(x), P(−x) | Nur Zählung | Eingrenzung der Anzahl positiver und negativer Nullstellen |
Rechenbeispiele
Synthetische Division
Dividieren Sie x³ − 6x² + 11x − 6 durch x − 2.
1 → −6+2 = −4 → 11−8 = 3 → −6+6 = 0
Quotient x² − 4x + 3, Rest 0
Restsatz
Welchen Rest erhält man, wenn P(x) = x³ − 2x² + x − 5 durch x − 3 geteilt wird?
Faktorisieren
Zerlegen Sie x³ − 6x² + 11x − 6 vollständig in Faktoren.
x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Was ist ein Polynom?
Ein Polynom ist eine Summe von Termen aₖxᵏ mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten, zum Beispiel 3x⁴ − 2x + 7. Sein Grad ist der höchste Exponent, und der Leitkoeffizient ist der Koeffizient dieses Terms. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad n in den komplexen Zahlen genau n Nullstellen hat, wenn man die Vielfachheit mitzählt.
Wichtige Sätze
- Divisionsalgorithmus: P(x) = Q(x)·D(x) + R(x) mit deg R < deg D.
- Restsatz: Die Division durch x − c hinterlässt den Rest P(c).
- Faktorsatz: (x − c) teilt P(x) genau dann, wenn P(c) = 0 gilt.
- Satz über rationale Nullstellen: Bei ganzzahligen Koeffizienten teilt p bei jeder rationalen Nullstelle p/q das Absolutglied und q den Leitkoeffizienten.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Horner, W. G. (1819). A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation. Philosophical Transactions of the Royal Society 109, 308–335.
- Gauss, C. F. (1799). Doktorarbeit, Helmstedt – der erste Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Abschnitt 1.11 (Nullstellen von Polynomen).
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Wann kann ich die synthetische Division statt der Polynomdivision verwenden?
Wenn der Divisor linear ist, also x − c (ein normierter linearer Faktor). Sie benötigt nur die Koeffizienten und c und ist schneller und weniger fehleranfällig. Bei einem Divisor wie 2x − 6 teilen Sie zuerst die Koeffizienten durch 2 (2x − 6 = 2(x − 3)) oder verwenden die Polynomdivision. Bei Divisoren ab Grad 2 verwenden Sie die Polynomdivision.
Wie verringert das Horner-Schema die Anzahl der Rechenoperationen?
Es schreibt aₙxⁿ + … + a₀ als (…((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + …)x + a₀ um und benötigt nur n Multiplikationen und n Additionen, statt jede Potenz einzeln zu berechnen. Außerdem ist es in der Gleitkommaarithmetik genauer.
Was garantiert der Fundamentalsatz der Algebra?
Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle und damit genau n Nullstellen, wenn man die Vielfachheit mitzählt. Reelle Polynome können komplexe Nullstellen haben, diese treten jedoch in konjugierten Paaren a ± bi auf.
Warum treten komplexe Nullstellen immer paarweise auf?
Hat ein Polynom reelle Koeffizienten und ist a + bi eine Nullstelle, dann ist auch die konjugierte Zahl a − bi eine Nullstelle, da die Konjugation reelle Koeffizienten erhält. Nicht reelle Nullstellen reeller Polynome treten daher in konjugierten Paaren auf.
Gibt es für jedes Polynom eine Formel für die Nullstellen?
Nur bis Grad 4 (die Formeln für quadratische, kubische und quartische Gleichungen). Der Satz von Abel–Ruffini zeigt, dass es für Grad 5 und höher keine allgemeine algebraische Formel gibt, weshalb numerische Verfahren – wie hier verwendet – nötig sind.
Wie genau sind die numerischen Nullstellen?
Die Nullstellen werden auf etwa 12 signifikante Stellen verfeinert. Mehrfache Nullstellen und sehr hohe Grade sind schlechter konditioniert, daher können die berechneten Werte etwas ungenauer sein. Exakte rationale Nullstellen werden zuerst gefunden, noch bevor numerisch gerechnet wird.
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