Matrixrechner (2×2)
Determinante, Inverse, Spur und Transponierte · Multiplikation zweier 2×2-Matrizen · Eigenwerte, Eigenvektoren und charakteristisches Polynom · Lösen von Ax = b mit der Cramerschen Regel – jeder Schritt und, wo exakt, auch die Bruchdarstellung.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jedes durchgerechnete Beispiel unten wurde anhand der Formeln von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Determinante und Inverse nutzen die Standardformel mit der Adjunkten für 2×2-Matrizen; Eigenwerte lösen die charakteristische quadratische Gleichung λ² − tr(A)λ + det(A) = 0; der Gleichungslöser verwendet die Cramersche Regel.
Hausaufgaben zur linearen Algebra und schnelle Grafik-/Technik-Checks brauchen exakte Brüche, nicht nur Dezimalzahlen – hier sehen Sie beides.
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Geometrische Wirkung von A auf das Einheitsquadrat
Wie A die Basisvektoren e₁ = (1, 0) und e₂ = (0, 1) abbildet.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Matrixklassen im Überblick
Wie sich eine 2×2-Matrix verhalten kann.
| Klasse | Bedingung | det(A) | Geometrische Wirkung |
|---|---|---|---|
| Regulär | rang(A) = 2 | ≠ 0 | Bijektive Abbildung; die Fläche skaliert mit |det(A)| |
| Singulär | rang(A) < 2 | = 0 | Bildet die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt ab |
| Orthogonal | AᵀA = I | ±1 | Starre Bewegung – eine Drehung oder Spiegelung |
| Symmetrisch | A = Aᵀ | — | Reelle Eigenwerte, senkrechte Eigenvektoren |
Rechenbeispiele
Determinante & Inverse
Bestimmen Sie für A = [[3, 2], [1, 4]] det(A) und A⁻¹.
A⁻¹ = (1/10)[[4, −2], [−1, 3]]
= [[0,4, −0,2], [−0,1, 0,3]]
Eigenwerte
Bestimmen Sie die Eigenwerte derselben Matrix A.
λ² − 7λ + 10 = 0 → (λ − 5)(λ − 2) = 0
λ₁ = 5, λ₂ = 2
Cramersche Regel
Lösen Sie Ax = b für b = (8, 7) mit demselben A.
x₂ = det([[3,8],[1,7]]) / det(A) = 13/10 = 1,3
x = (1,8, 1,3)
Wichtige 2×2-Formeln
- Determinante: det(A) = a·d − b·c für A = [[a, b], [c, d]].
- Inverse: A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]], nur definiert, wenn det(A) ≠ 0.
- Spur: tr(A) = a + d, die Summe der Diagonaleinträge.
- Charakteristisches Polynom: p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A); seine Nullstellen sind die Eigenwerte.
- Cramersche Regel: für Ax = b gilt xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), wobei Aᵢ die Spalte i von A durch b ersetzt.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Cayley, A. (1858). A memoir on the theory of matrices. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press. Chapters 4 & 6.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics, clause 11 (matrices).
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet det(A) = 0?
Die Zeilen (oder Spalten) von A sind linear abhängig – eine ist ein skalares Vielfaches der anderen. Die Matrix hat keine Inverse und bildet die Ebene auf eine Gerade oder einen einzelnen Punkt statt auf ein volles 2D-Gebiet ab.
Wie prüfe ich, ob eine Inverse korrekt ist?
Multiplizieren Sie A mit der berechneten A⁻¹: Das Ergebnis sollte bis auf Rundung die Einheitsmatrix I = [[1, 0], [0, 1]] sein. Dieser Rechner führt diese Prüfung für Sie durch.
Kann eine 2×2-Matrix komplexe Eigenwerte haben?
Ja – immer dann, wenn die Diskriminante tr(A)² − 4·det(A) negativ ist, etwa bei einer Drehmatrix (mit einem Winkel, der kein Vielfaches von 180° ist). Die Eigenwerte bilden dann ein komplex konjugiertes Paar.
Warum versagt die Cramersche Regel bei det(A) = 0?
Weil sie durch det(A) teilt. Ein singuläres System hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen, und die Cramersche Regel kann diese Fälle nicht unterscheiden – verwenden Sie stattdessen das Gauß-Verfahren.
Was sagen die Eigenwerte geometrisch aus?
Entlang jeder Eigenvektor-Richtung wirkt A als reine Streckung um den zugehörigen Eigenwert – ohne Drehung. Reelle Eigenwerte bedeuten, dass die Abbildung entlang fester Richtungen streckt oder spiegelt; komplexe bedeuten, dass die Abbildung eine Drehung enthält.
Ist A⁻¹A immer gleich AA⁻¹?
Ja, für eine quadratische invertierbare Matrix gilt A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Das ist eine besondere Eigenschaft quadratischer Matrizen; für nicht quadratische Matrizen gilt sie nicht, sie haben bestenfalls einseitige Inverse.
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