Rechner für komplexe Zahlen
Addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren Sie zwei komplexe Zahlen; bestimmen Sie Betrag, Argument, Konjugierte und Polarform einer Zahl; oder berechnen Sie ganzzahlige Potenzen und n-te Wurzeln mit dem Satz von De Moivre – mit Darstellung in der komplexen Ebene und jedem Rechenschritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jede Identität wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Die Arithmetik folgt den üblichen algebraischen Regeln (i² = −1); Potenzen und Wurzeln nutzen den Satz von De Moivre in der Polarform r(cos θ + i sin θ).
Er trägt jede Zahl in der Gaußschen Zahlenebene ein, sodass die Geometrie hinter der Algebra stets sichtbar bleibt.
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Gaußsche Zahlenebene
Jede Zahl als Punkt (Re, Im) eingetragen.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Rechenbeispiele
Multiplizieren
(3+4i) × (1−2i)
= 11 − 2i
Betrag & Argument
Bestimmen Sie |3+4i| und Arg(3+4i).
θ = atan2(4,3) ≈ 53,13°
Potenz nach De Moivre
(1+i)⁸
(1+i)⁸ = 16
Wichtige Formeln
- Multiplikation: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.
- Division: mit der Konjugierten multiplizieren: z₁/z₂ = z₁z̄₂ / |z₂|².
- Betrag: |z| = √(a²+b²). Argument: θ = atan2(b, a), in (−π, π].
- Satz von De Moivre: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
- n-te Wurzeln: ⁿ√z hat n Werte, bei den Winkeln (θ+2πk)/n für k = 0, …, n−1, jeweils mit dem Betrag |z|^(1/n).
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 29. September 2026 · So prüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill, Kapitel 1–2.
- ISO 80000-2:2019, Abschnitt 8 (komplexe Zahlen).
Häufig gestellte Fragen
Warum verwendet man beim Dividieren komplexer Zahlen das Konjugierte?
Multipliziert man den Nenner mit seiner Konjugierten z̄, wird daraus die reelle Zahl |z|², und i verschwindet aus dem Nenner – das komplexe Gegenstück zum Rationalmachen einer Quadratwurzel.
Was bedeutet die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch?
Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert – geometrisch ist das eine Streckung und Drehung. Genau das verallgemeinert der Satz von De Moivre auf Potenzen und Wurzeln.
Warum hat eine komplexe Zahl n verschiedene n-te Wurzeln?
Winkel, die sich um eine volle Drehung (2π) unterscheiden, beschreiben denselben Punkt, doch das Potenzieren mit n multipliziert den Winkel mit n – somit führen n verschiedene Startwinkel im Abstand von 2π/n alle zum selben Ergebnis.
Wofür wird die komplex Konjugierte verwendet?
Neben der Division ergibt z·z̄ = |z|² stets eine reelle Zahl, was für die Bestimmung von Beträgen, das Normieren von Vektoren und in der Signalverarbeitung für die Berechnung der Leistung aus einer komplexen Amplitude wesentlich ist.
Wie hängt die Eulersche Formel mit der Polarform zusammen?
Die Eulersche Formel e^(iθ) = cos θ + i sin θ erlaubt es, die Polarform r(cos θ + i sin θ) kompakt als r·e^(iθ) zu schreiben – dieselbe Zahl, und die Form, in der Multiplikation, Potenzen und Wurzeln am natürlichsten sind.
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