Folgenrechner
Berechnen Sie das n-te Glied und die Teilsumme einer arithmetischen oder geometrischen Folge, ermitteln Sie Fibonacci- oder Lucas-Zahlen auch für riesige n exakt oder lösen Sie eine benutzerdefinierte lineare Rekursion 2. Ordnung – mit expliziter Formel und allen angezeigten Schritten.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jede Formel wird neu hergeleitet und von Hand geprüft. Unsere Methodik.
Arithmetische und geometrische Folgen nutzen direkt ihre geschlossenen Formeln; Fibonacci/Lucas und benutzerdefinierte Rekursionen verwenden exaktes BigInt-Fast-Doubling bzw. Matrixpotenzierung, sodass selbst das 1000. Glied exakt und nicht angenähert ist.
Es zeigt die explizite geschlossene Formel neben der rekursiven Definition, sodass Sie sehen, wie die eine aus der anderen folgt.
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Erste Glieder der Folge
Der Verlauf von aₙ bei wachsendem n.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Folgenformeln im Überblick
Die zentralen Identitäten hinter jedem Modus.
| Folge | n-tes Glied | Summe der ersten n Glieder |
|---|---|---|
| Arithmetik | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) |
| Geometrisch (r ≠ 1) | aₙ = a₁·rn−1 | Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) |
| Fibonacci | Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ | F₀=0, F₁=1 |
| Lucas | Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂ | L₀=2, L₁=1 |
Was ist eine Folge?
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen a₁, a₂, a₃, …, die nach einer Regel gebildet wird. Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt einen festen Betrag; eine geometrische Folge multipliziert mit einem festen Quotienten; Fibonacci- und Lucas-Zahlen sind rekursiv definiert, jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 29. September 2026 · So prüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics (2. Aufl.). Addison-Wesley, Kapitel 6.
- Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley-Interscience.
- ISO 80000-2:2019, Abschnitt 4 (Notation für Folgen und Reihen).
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe?
Eine Folge ist die geordnete Liste der Glieder selbst (a₁, a₂, a₃, …). Eine Reihe ist die Summe dieser Glieder (a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ). Die „Teilsumme“ dieses Rechners ist die Reihe, die aus den ersten n Gliedern der Folge gebildet wird.
Wann konvergiert eine geometrische Reihe für n → ∞?
Genau dann, wenn |r| < 1. Die unendliche Summe ist dann a₁ / (1 − r). Bei |r| ≥ 1 schrumpfen die Glieder nicht gegen null, und die Summe divergiert (wächst unbegrenzt oder oszilliert).
Wie werden riesige Fibonacci-Zahlen exakt berechnet?
Mit der Fast-Doubling-Methode: Identitäten wie F(2k) = F(k)·[2F(k+1) − F(k)] erlauben es, F(n) in etwa log₂(n) Schritten mit Ganzzahlen beliebiger Größe zu berechnen statt in n Additionen, und die BigInt-Arithmetik hält jede Ziffer exakt, egal wie groß die Zahl ist.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Goldenen Schnitt und den Fibonacci-Zahlen?
Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen Fₙ₊₁/Fₙ konvergiert mit wachsendem n gegen den Goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339887 – dieser Rechner zeigt, wie schnell sich das Verhältnis einpendelt.
Was bedeutet hier „benutzerdefinierte Rekursion“?
Eine lineare Rekursion zweiter Ordnung aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂, festgelegt durch zwei Startwerte und zwei Koeffizienten. Fibonacci (p=q=1, Startwerte 0,1) und Lucas (p=q=1, Startwerte 2,1) sind Sonderfälle; wenn Sie p, q oder die Startwerte ändern, erhalten Sie andere bekannte Familien, etwa die Pell-Zahlen (p=2, q=1).
Darf n sehr groß sein?
Ja – arithmetische und geometrische Glieder werden für jedes n sofort berechnet; Fibonacci, Lucas und benutzerdefinierte Rekursionen nutzen exakte BigInt-Arithmetik bis n = 5000, berechnet mit Fast Doubling oder Matrixpotenzierung statt mit einer langsamen Schleife Glied für Glied.
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