Calculatrice de vecteurs
Additionnez et soustrayez des vecteurs, trouvez la norme, le vecteur unitaire, le produit scalaire, le produit vectoriel, l'angle entre deux vecteurs et la projection de l'un sur l'autre — en 2D ou 3D, avec le détail du déterminant.
Rédigé par Suhaib Hassan. Chaque formule relève de l'algèbre vectorielle standard, et les exemples détaillés sont recalculés à la main. Notre méthodologie.
Elle combine directement les composantes : sommes de produits pour le produit scalaire, déterminant 3×3 pour le produit vectoriel et arccos du produit scalaire normalisé pour l'angle.
La physique et l'infographie utilisent constamment ces opérations. Voir les vecteurs dessinés et l'algèbre posée permet de repérer facilement les erreurs de signe et d'ordre.
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Schéma des vecteurs
Vecteurs tracés à partir de l'origine ; les vecteurs 3D utilisent une projection oblique.
Calcul étape par étape
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Les opérations vectorielles en un coup d'œil
Ce que renvoie chaque produit et ce qu'il signifie.
| Opération | Notation | Résultat | Dimensions | Signification |
|---|---|---|---|---|
| Produit scalaire | u · v | Scalaire | Toutes (2D, 3D, n-D) | Travail fourni ; degré d'alignement de deux vecteurs |
| Produit vectoriel | u × v | Vecteur | 3D (et 7D) | Couple, moment cinétique, normales à une surface |
| Projection scalaire | compv u | Scalaire | Toutes | Longueur de l'ombre de u le long de v |
| Projection vectorielle | projv u | Vecteur | Toutes | La partie de u parallèle à v |
| Produit mixte | u · (v × w) | Scalaire | 3D | Volume algébrique d'un parallélépipède |
Exemples détaillés
Travail d'une force
Une force F = (10, 0, 5) N déplace un objet de d = (3, 4, 0) m.
Couple sur une clé
Position r = (0,5, 0, 0) m, force F = (0, 20, 0) N.
= (0, 0, 10) N·m
Angle entre des vecteurs
u = (3, 4, 0) et v = (1, 2, 2).
cos θ = 11 ÷ 15 = 0,7333
θ = 42,8334°
Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Un vecteur possède à la fois une norme et une direction, et s'écrit par ses composantes, par exemple u = (3, 4, 0). Sa norme est |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²), et la diviser par celle-ci donne le vecteur unitaire û = u ÷ |u|, de longueur 1.
Formules utilisées
- Produit scalaire : u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v| cos θ.
- Angle : θ = arccos[(u · v) ÷ (|u||v|)], entre 0° et 180°.
- Produit vectoriel : u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ) ; sa longueur |u||v| sin θ est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent.
- Projection : projv u = [(u · v) ÷ |v|²] v et compv u = (u · v) ÷ |v|.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Gibbs, J. W. & Wilson, E. B. (1901). Vector Analysis. Yale University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics — notation for vectors and their products.
Questions fréquentes
Pourquoi le produit scalaire est-il un scalaire alors que le produit vectoriel est un vecteur ?
Le produit scalaire mesure dans quelle mesure deux vecteurs pointent dans la même direction, ce qui donne un simple nombre. Le produit vectoriel produit un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux, dont la longueur est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. En 2D, il n'existe pas de direction perpendiculaire dans le plan ; le produit vectoriel se réduit donc à un nombre (la composante z).
Que signifie un produit scalaire nul ?
Les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux), à condition qu'aucun ne soit le vecteur nul, car cos 90° = 0. Un produit scalaire négatif signifie que l'angle est obtus ; un produit positif signifie qu'il est aigu.
Que signifie un produit vectoriel nul ?
Les vecteurs sont parallèles ou antiparallèles (ou l'un est nul), car sin 0° = sin 180° = 0. Ils n'engendrent aucune aire.
Comment la règle de la main droite fixe-t-elle la direction du produit vectoriel ?
Pointez les doigts de la main droite le long de u, repliez-les vers v, et votre pouce indique la direction de u × v. Inverser l'ordre inverse la direction : v × u = −(u × v).
Quelle est la différence entre la projection scalaire et la projection vectorielle ?
La projection scalaire est la longueur algébrique de l'ombre de u le long de v. La projection vectorielle est cette longueur orientée dans la direction de v. La différence u − projv u est la partie de u perpendiculaire à v.
Pourquoi le produit vectoriel n'existe-t-il qu'en 3D ?
La construction exige une direction unique perpendiculaire à deux directions données, ce qui n'existe qu'en trois dimensions (et, avec une algèbre différente, en sept). Dans les autres dimensions, le produit extérieur le généralise.
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