Calculatrice du théorème de Pythagore
Trouvez l’hypoténuse ou un côté manquant d’un triangle rectangle, mesurez la distance entre deux points en 3D, ou vérifiez si trois entiers forment un triplet pythagoricien, avec des radicaux exacts, les angles, l’aire et chaque étape détaillée.
Rédigé par Suhaib Hassan. Le théorème correspond à la proposition I.47 d’Euclide, et chaque exemple détaillé est re-démontré à la main. Notre méthodologie.
Il élève au carré les côtés connus, additionne ou soustrait, puis prend la racine carrée. Les résultats entiers sont affichés en valeurs exactes, et les autres racines sous forme de radicaux simplifiés comme 6√2.
Une seule page pour les quatre usages courants : hypoténuse, côté manquant, distance 3D et vérification de triplets, avec la géométrie dessinée à l’échelle.
—
Preuve géométrique : les carrés construits sur les côtés
Proposition I.47 d’Euclide : le carré construit sur l’hypoténuse a la même aire que la somme des deux carrés construits sur les côtés de l’angle droit.
Calcul étape par étape
—
Triangles rectangles particuliers
Triangle 3-4-5 rapport 3 : 4 : 5
Le plus petit triplet pythagoricien. Les maçons l’utilisent pour vérifier qu’un angle est droit : on mesure 3 le long d’un bord et 4 le long de l’autre, et la diagonale doit mesurer exactement 5 (ou un multiple, comme 9-12-15).
Triangle 45°-45°-90° rapport 1 : 1 : √2
Moitié d’un carré coupé suivant sa diagonale. Les côtés de l’angle droit sont égaux et l’hypoténuse vaut le côté multiplié par √2 (environ 1,4142).
Triangle 30°-60°-90° rapport 1 : √3 : 2
Moitié d’un triangle équilatéral. L’hypoténuse vaut le double du plus petit côté et l’autre côté vaut le plus petit côté multiplié par √3.
Formule d’Euclide pour les triplets m > n > 0
Pour des entiers m > n > 0, les nombres a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² forment toujours un triplet. Si m et n sont premiers entre eux et de parités opposées, le triplet est primitif.
Cela applique le théorème deux fois : d’abord sur le sol, puis en hauteur.
Exemples détaillés
Mise d’équerre d’une fondation
En traçant un rectangle de 3 m sur 4 m, la diagonale doit mesurer exactement 5 m si l’angle est bien droit.
Une diagonale décalée de seulement 2 cm signifie que l’angle n’est pas droit.
Taille d’écran
Un téléviseur 16:9 a une diagonale de 55 pouces. Quelles sont sa largeur et sa hauteur ?
largeur = 55 × 16 ÷ 18,358 = 47,94 po
hauteur = 55 × 9 ÷ 18,358 = 26,96 po
Distance 3D
Deux points, (1, 2, 3) et (4, 6, 15).
d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Un entier, car (3, 4, 12, 13) est un quadruplet pythagoricien.
Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². C’est un cas particulier de la loi des cosinus, où le terme −2ab·cos C disparaît car cos 90° = 0.
Mode d’emploi
- Hypoténuse : c = √(a² + b²).
- Côté manquant : a = √(c² − b²), et l’hypoténuse doit être le plus long côté.
- Angles : tan α = a ÷ b, donc α = arctan(a ÷ b) et l’autre angle aigu vaut 90° − α.
- Aire et rayons : aire = ½ab ; rayon du cercle inscrit = (a + b − c) ÷ 2 ; rayon du cercle circonscrit = c ÷ 2.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Euclide, Éléments, livre I, proposition 47 (le théorème de Pythagore) et proposition 48 (sa réciproque).
- Maor, E. (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton University Press.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Questions fréquentes
Pourquoi a² + b² = c² ne fonctionne-t-il que pour les triangles rectangles ?
La règle générale est la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Pour un angle droit, cos 90° = 0 et le dernier terme disparaît. Pour un angle aigu, c² est plus petit que a² + b² ; pour un angle obtus, il est plus grand.
Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien primitif ?
Un ensemble d’entiers (a, b, c) tel que a² + b² = c² dont le plus grand commun diviseur est 1, comme 3-4-5 ou 5-12-13. Les multiples comme 6-8-10 restent des triplets, mais ne sont pas primitifs.
Comment trouver la distance entre deux points en 3D ?
Élevez au carré les différences en x, y et z, additionnez-les, puis prenez la racine carrée. C’est le théorème de Pythagore appliqué deux fois, et cela donne aussi la diagonale d’un parallélépipède rectangle d’arêtes Δx, Δy et Δz.
Que signifie une réponse en radical exact comme 6√2 ?
Lorsque le nombre sous la racine n’est pas un carré parfait, la racine est irrationnelle. On peut la simplifier en extrayant les facteurs carrés : √72 = √(36 × 2) = 6√2, soit environ 8,4853. La forme exacte évite les arrondis.
L’hypoténuse peut-elle être plus courte qu’un côté de l’angle droit ?
Non. L’hypoténuse est toujours le plus long côté d’un triangle rectangle, car c² = a² + b² est supérieur à a² comme à b². Lorsque vous cherchez un côté, l’hypoténuse saisie doit dépasser le côté connu.
Fonctionne-t-il avec n’importe quelle unité ?
Oui, tant que tous les côtés utilisent la même unité. Le résultat est exprimé dans cette unité ; les aires sont en unités carrées. Le panneau d’équivalences convertit la réponse dans d’autres unités de longueur courantes.
Calculateurs associés
Poursuivez avec la géométrie.