Calculatrice de distance 3D
Trouvez la distance entre deux points dans l'espace 3D, la distance d'un point à un plan, la longueur d'un vecteur ou les dimensions d'un parallélépipède englobant — avec le milieu, la forme radicale exacte, les angles directeurs et d'autres mesures de distance (Manhattan, Tchebychev, Minkowski).
Rédigé par Suhaib Hassan. Les formules relèvent de la géométrie analytique classique, et chaque exemple détaillé est redémontré à la main. Notre méthodologie.
Elle soustrait les coordonnées, élève au carré et additionne les différences, puis extrait la racine carrée ; les valeurs entières et les formes radicales simplifiées sont obtenues exactement.
La distance 3D, c'est le théorème de Pythagore appliqué deux fois. Cette page montre ce raisonnement ainsi que les mesures apparentées utilisées en infographie, en robotique et en CAO.
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Schéma 3D
Projection oblique avec le parallélépipède englobant des deux points.
Calcul étape par étape
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Comparaison des distances
Différentes façons de mesurer « la distance », illustrées pour le déplacement (Δx, Δy, Δz) = (1, 2, 3).
| Métrique | Formule | Trajet | Valeur pour (1, 2, 3) | Utilisée en |
|---|---|---|---|---|
| Euclidienne (L²) | √(Δx² + Δy² + Δz²) | Ligne droite | √14 ≈ 3.7417 | Physique, infographie, CAO |
| Manhattan (L¹) | |Δx| + |Δy| + |Δz| | Le long des axes uniquement | 6 | Routage en grille, trajets d'entrepôt |
| Tchebychev (L∞) | max(|Δx|, |Δy|, |Δz|) | Déplacements indépendants sur chaque axe | 3 | Machines à portique, roi aux échecs |
| Minkowski (p = 3) | (|Δx|³ + |Δy|³ + |Δz|³)^(1/3) | Généralisée | 36^(1/3) ≈ 3.3019 | Apprentissage automatique, clustering |
Exemples détaillés
Deux avions
Positions (1, 2, 3) et (5, 6, 9) km.
d² = 16 + 16 + 36 = 68
d = √68 = 2√17 ≈ 8.2462 km
Diagonale d’une boîte
L’objet rectiligne le plus long qui tient dans une boîte de 3 × 4 × 12 cm.
Point à plan
Distance du point (1, 2, 3) au plan 2x − y + 2z − 4 = 0.
= 2 ÷ 3 = 0.6667
Qu’est-ce que la distance 3D ?
La distance en ligne droite entre (x₁, y₁, z₁) et (x₂, y₂, z₂) est d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]. Elle découle de deux applications successives du théorème de Pythagore : d’abord sur le sol (Δx, Δy), puis sur la hauteur (Δz).
Distance d’un point à un plan
Pour un plan Ax + By + Cz + D = 0 et un point (x₀, y₀, z₀), la distance la plus courte est |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| ÷ √(A² + B² + C²). Le pied de la perpendiculaire est le point moins la distance signée multipliée par le vecteur normal unitaire.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Euclide, Éléments, livre XI — fondements de la géométrie dans l’espace et de la projection spatiale orthogonale.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
- NIST Special Publication 811, Guide for the Use of the International System of Units (SI) — unités de longueur.
Questions fréquentes
En quoi la distance 3D diffère-t-elle de la distance 2D ?
En 2D, on utilise √(Δx² + Δy²). En 3D, un troisième terme Δz² s'ajoute sous la racine. Géométriquement, la distance 2D devient un côté d'un triangle rectangle dont l'autre côté est la différence de hauteur.
Quelle est la différence entre la distance euclidienne et la distance de Manhattan ?
La distance euclidienne est la longueur en ligne droite, « à vol d'oiseau ». La distance de Manhattan additionne les valeurs absolues des différences de coordonnées : c'est la longueur d'un trajet qui suit uniquement les axes, comme les rues d'un quadrillage. La distance de Manhattan n'est jamais inférieure à la distance euclidienne.
Que sont les cosinus directeurs ?
Ce sont les cosinus des angles que le déplacement forme avec les axes x, y et z : cos α = Δx ÷ d, cos β = Δy ÷ d, cos γ = Δz ÷ d. Ils vérifient toujours cos²α + cos²β + cos²γ = 1 et donnent le vecteur unitaire le long de la droite.
Quelles sont les coordonnées sphériques d’un déplacement ?
La distance r = d, l'azimut θ = atan2(Δy, Δx) mesuré dans le plan xy, et l'angle polaire φ = arccos(Δz ÷ d) mesuré depuis l'axe +z.
Que se passe-t-il si l’équation du plan est saisie sous la forme ax + by + cz = k ?
Passez k à gauche : saisissez D = −k. Par exemple, 2x − y + 2z = 4 devient A = 2, B = −1, C = 2, D = −4.
L’unité a-t-elle de l’importance ?
Non, tant que toutes les coordonnées utilisent la même unité. Le champ d'unité n'est qu'une étiquette recopiée dans les résultats ; le calcul, lui, est indépendant de l'unité.
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