Calculatrice de polynômes
Divisez des polynômes (avec un tableau de division synthétique pour les diviseurs linéaires), trouvez les racines réelles et complexes ainsi que la forme factorisée, additionnez, soustrayez et multipliez, ou évaluez P(x) avec la méthode de Horner, avec un graphique et toutes les étapes détaillées.
Rédigé par Suhaib Hassan. Les algorithmes sont classiques et chaque exemple détaillé est re-démontré à la main. Notre méthodologie.
Il analyse votre expression pour en extraire les coefficients, divise avec l’algorithme classique de division euclidienne, teste les racines rationnelles, puis affine le reste numériquement (Durand–Kerner) pour trouver toutes les racines complexes.
Il montre le détail du calcul, avec le tableau de division synthétique, la vérification par le théorème du reste et la forme factorisée, et pas seulement la réponse.
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Tableau de division synthétique
Pour un diviseur x − c : abaissez le premier coefficient, multipliez-le par c, ajoutez-le au coefficient suivant, puis recommencez.
Graphique de P(x)
Les racines réelles sont marquées en vert ; l’ordonnée à l’origine en foncé.
Calcul étape par étape
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Quelle méthode choisir
Quatre outils classiques pour travailler avec les polynômes.
| Méthode | Forme du diviseur | Coût | Idéal pour |
|---|---|---|---|
| Division euclidienne | Tout polynôme de degré inférieur | O(deg P · deg Q) | Division générale avec reste |
| Division synthétique (Ruffini) | x − c (linéaire unitaire) | O(n) | Division rapide et théorème du reste |
| Méthode de Horner | Évaluation en un point | n multiplications, n additions | Évaluation efficace et numériquement stable |
| Théorème des racines rationnelles | p/q, p | a₀, q | aₙ | Liste finie de candidats | Recherche des racines rationnelles exactes |
| Règle des signes de Descartes | Changements de signe dans P(x), P(−x) | Dénombrement uniquement | Encadrement du nombre de racines positives et négatives |
Exemples détaillés
Division synthétique
Divisez x³ − 6x² + 11x − 6 par x − 2.
1 → −6+2 = −4 → 11−8 = 3 → −6+6 = 0
quotient x² − 4x + 3, reste 0
Théorème du reste
Quel est le reste de la division de P(x) = x³ − 2x² + x − 5 par x − 3 ?
Factorisation
Factorisez complètement x³ − 6x² + 11x − 6.
x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Qu’est-ce qu’un polynôme ?
Un polynôme est une somme de termes aₖxᵏ où les puissances sont des entiers positifs ou nuls, comme 3x⁴ − 2x + 7. Son degré est la plus haute puissance et son coefficient dominant est le coefficient de ce terme. Le théorème fondamental de l’algèbre affirme qu’un polynôme de degré n possède exactement n racines, comptées avec leur multiplicité, dans les nombres complexes.
Théorèmes clés
- Algorithme de division : P(x) = Q(x)·D(x) + R(x) avec deg R < deg D.
- Théorème du reste : la division par x − c laisse pour reste P(c).
- Théorème du facteur : (x − c) divise P(x) exactement lorsque P(c) = 0.
- Théorème des racines rationnelles : pour des coefficients entiers, toute racine rationnelle p/q est telle que p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Horner, W. G. (1819). A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation. Philosophical Transactions of the Royal Society 109, 308–335.
- Gauss, C. F. (1799). Thèse de doctorat, Helmstedt, première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 1.11 (Zéros des polynômes).
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Questions fréquentes
Quand utiliser la division synthétique plutôt que la division euclidienne ?
Lorsque le diviseur est linéaire, de la forme x − c (un facteur linéaire unitaire). Elle ne nécessite que les coefficients et c, et elle est plus rapide et moins sujette aux erreurs. Pour un diviseur tel que 2x − 6, divisez d’abord les coefficients par 2 (2x − 6 = 2(x − 3)) ou utilisez la division euclidienne. Pour les diviseurs de degré 2 ou plus, utilisez la division euclidienne.
Comment la méthode de Horner réduit-elle le nombre d’opérations ?
Elle réécrit aₙxⁿ + … + a₀ sous la forme (…((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + …)x + a₀, ce qui ne demande que n multiplications et n additions au lieu de calculer chaque puissance séparément. Elle est aussi plus précise en arithmétique à virgule flottante.
Que garantit le théorème fondamental de l’algèbre ?
Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe, et donc exactement n racines en comptant les multiplicités. Les polynômes réels peuvent avoir des racines complexes, mais elles vont par paires conjuguées a ± bi.
Pourquoi les racines complexes vont-elles toujours par paires ?
Si un polynôme a des coefficients réels et que a + bi est une racine, son conjugué a − bi en est aussi une, car la conjugaison préserve les coefficients réels. Les racines non réelles des polynômes réels apparaissent donc par paires conjuguées.
Existe-t-il une formule donnant les racines de tout polynôme ?
Seulement jusqu’au degré 4 (formules du second degré, de Cardan et de Ferrari). Le théorème d’Abel–Ruffini montre qu’il n’existe aucune formule algébrique générale à partir du degré 5, d’où le recours aux méthodes numériques, comme ici.
Quelle est la précision des racines numériques ?
Les racines sont affinées jusqu’à environ 12 chiffres significatifs. Les racines multiples et les degrés très élevés sont moins bien conditionnés, de sorte que leurs valeurs calculées peuvent être légèrement moins précises. Les racines rationnelles exactes sont recherchées en premier, avant tout calcul numérique.
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