Calculatrice d'exposants
Élevez n’importe quelle base à n’importe quelle puissance, y compris avec des exposants négatifs et fractionnaires, trouvez des racines n-ièmes, convertissez la notation scientifique et modélisez la croissance ou la décroissance exponentielle — avec des résultats exacts lorsqu’ils existent et chaque étape détaillée.
Rédigé par Suhaib Hassan. Les lois des exposants sont classiques, et chaque exemple détaillé est recalculé à la main. Notre méthodologie.
Les puissances entières utilisent de grands entiers exacts. Les autres puissances utilisent la virgule flottante en double précision, les exposants rationnels étant reconnus afin que des résultats comme 4^2.5 = 32 soient exacts.
Elle explique ce que signifie un exposant fractionnaire ou négatif, vous avertit lorsqu’un résultat est complexe et affiche la courbe sur laquelle se trouve la réponse.
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Courbe exponentielle
La courbe y = bᵗ avec votre point marqué.
Calcul étape par étape
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Lois des exposants
Elles s’appliquent dès que les expressions sont définies.
| Règle | Identité | Exemple | Condition |
|---|---|---|---|
| Produit | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 4² · 4³ = 4⁵ = 1024 | Même base |
| Quotient | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 4⁵ ÷ 4² = 4³ = 64 | b ≠ 0 |
| Puissance d’une puissance | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (4²)³ = 4⁶ = 4096 | b > 0 pour les exposants non entiers |
| Exposant négatif | b⁻ⁿ = 1 ÷ bⁿ | 4⁻² = 1/16 = 0.0625 | b ≠ 0 |
| Exposant nul | b⁰ = 1 | 4⁰ = 1 | b ≠ 0 (0⁰ est indéterminé) |
| Exposant fractionnaire | b^(m/n) = (ⁿ√b)ᵐ | 64^(1/3) = 4 | b ≥ 0 pour n pair |
Exemples détaillés
Mémoire adressable
Combien d’octets une adresse de 32 bits et une adresse de 64 bits permettent-elles d’atteindre ?
2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616 (≈ 18.4 exaoctets)
Capitalisation continue
1 000 $ à 5 % capitalisés en continu pendant 10 ans.
= 1 648,72 $
Désintégration radioactive
Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Quelle fraction reste-t-il après 11 460 ans ?
Qu’est-ce qu’un exposant ?
Un exposant indique combien de fois une base est utilisée comme facteur : b³ = b × b × b. Il s’étend à zéro (b⁰ = 1), aux nombres négatifs (b⁻ⁿ = 1 ÷ bⁿ) et aux fractions (b^(1/n) est la racine n-ième de b). Les exposants réels sont définis par la fonction exponentielle : bˣ = eˣ ˡⁿ ᵇ pour b > 0.
Notation scientifique
Un nombre est en notation scientifique lorsqu’il s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10. La notation ingénieur limite n aux multiples de 3 afin de correspondre aux préfixes du SI (kilo, méga, milli…). La notation E, comme 6.02e23, signifie 6.02 × 10²³.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapitre 4, section 4.2 (définitions du logarithme et de l’exponentielle).
- IEEE 754-2019, Standard for Floating-Point Arithmetic — le format en double précision utilisé pour les puissances non entières.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on une puissance fractionnaire comme 4^2.5 ?
Écrivez l’exposant sous forme de fraction, 2.5 = 5/2. Le dénominateur est la racine et le numérateur la puissance : 4^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 32. La calculatrice détecte automatiquement ces fractions et affiche la valeur exacte lorsqu’elle existe.
Que se passe-t-il avec une base négative et un exposant fractionnaire ?
Si l’exposant est une fraction à dénominateur impair, le résultat est réel ((−8)^(1/3) = −2). Avec un dénominateur pair, comme (−4)^(1/2), il n’existe pas de résultat réel ; la valeur complexe principale est 0 + 2i, que cette page indique lorsque c’est le cas.
Pourquoi 0⁰ est-il indéfini ?
Deux règles s’opposent : x⁰ = 1 pour tout x non nul, mais 0ˣ = 0 pour tout x positif. Aucune ne l’emporte, donc 0⁰ reste indéterminé en analyse. De nombreux langages de programmation et ouvrages de combinatoire le définissent comme égal à 1 par convention ; cette calculatrice l’indique comme indéterminé.
Quelles limites de précision s’appliquent aux grands résultats ?
Les puissances entières de nombres entiers sont de grands entiers exacts. Les autres résultats utilisent la double précision IEEE 754 : environ 15 à 17 chiffres significatifs, avec un dépassement vers ∞ au-delà d’environ 1.8 × 10³⁰⁸ et un passage à 0 en dessous d’environ 5 × 10⁻³²⁴.
Quelle est la différence entre une croissance exponentielle et une fonction puissance ?
Dans une fonction puissance comme x², la base varie et l’exposant est fixe. Dans une fonction exponentielle comme 2ˣ, la base est fixe et l’exposant varie — elle finit donc par dépasser toute fonction puissance.
Comment trouver le temps de doublement ?
Pour une croissance continue N = N₀eᵏᵗ, le temps de doublement est ln 2 ÷ k. Avec k = 0.05 par an, cela donne 0.693147 ÷ 0.05 ≈ 13.86 ans. Pour une décroissance, la demi-vie est ln 2 ÷ |k|.
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