Calculatrice de logarithmes
Calculez des logarithmes dans n’importe quelle base — décimal (log₁₀), népérien (ln), binaire (log₂) ou la vôtre — et des antilogarithmes, avec le détail du changement de base, la caractéristique et la mantisse, et un graphique.
Rédigé par Suhaib Hassan. Les propriétés des logarithmes sont standard, et chaque exemple détaillé est recalculé à la main. Notre méthodologie.
Elle applique la règle du changement de base log_b(x) = ln x ÷ ln b avec des logarithmes népériens en double précision, et vérifie le résultat en élevant la base à la puissance obtenue.
Les logarithmes transforment les multiplications en additions. Cette page affiche la valeur, son équivalent dans d’autres bases et sa position sur la courbe.
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Courbe du logarithme
y = log_b(x) avec votre point marqué ; la courbe présente une asymptote verticale en x = 0.
Calcul étape par étape
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Propriétés des logarithmes
Pour b > 0, b ≠ 1 et x et y positifs.
| Règle | Identité | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | log_b(xy) = log_b x + log_b y | log₁₀ 200 = log₁₀ 2 + log₁₀ 100 = 0.301 + 2 |
| Quotient | log_b(x/y) = log_b x − log_b y | log₁₀ 5 = log₁₀ 10 − log₁₀ 2 = 1 − 0.301 = 0.699 |
| Puissance | log_b(xᵖ) = p · log_b x | log₁₀ 1000 = log₁₀ 10³ = 3 · 1 = 3 |
| Changement de base | log_b x = ln x ÷ ln b | log₂ 8 = ln 8 ÷ ln 2 = 2.0794 ÷ 0.6931 = 3 |
| Inverse | b^(log_b x) = x et log_b(bˣ) = x | 10^(log₁₀ 500) = 500 |
| Valeurs particulières | log_b 1 = 0, log_b b = 1 | log₁₀ 1 = 0, log₁₀ 10 = 1 |
Exemples détaillés
Décibels
Un son dont la puissance vaut 100 fois la puissance de référence.
= 10 × 2 = 20 dB
Recherche dichotomique
Combien de comparaisons faut-il pour rechercher parmi 1 000 000 d’éléments triés ?
pH de l’eau
L’eau pure a [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L.
Qu’est-ce qu’un logarithme ?
Le logarithme log_b(x) répond à la question « à quelle puissance faut-il élever b pour obtenir x ? ». Si bʸ = x, alors y = log_b(x). Les trois bases les plus courantes sont 10 (logarithme décimal, noté log ou log₁₀), e ≈ 2.71828 (logarithme népérien, ln) et 2 (logarithme binaire, log₂, utilisé en informatique).
Caractéristique et mantisse
Pour un logarithme en base 10, la partie entière (la caractéristique) donne l’ordre de grandeur et la partie fractionnaire (la mantisse) ne dépend que des chiffres. Comme log₁₀ 500 = log₁₀ 5 + log₁₀ 100 = 0.69897 + 2, la caractéristique est 2 et la mantisse 0.69897. Les tables de logarithmes imprimées ne listaient que les mantisses.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapitre 4, section 4.2 (définitions du logarithme et de l’exponentielle).
- Napier, J. (1614). Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Édimbourg.
- ISO 80000-2:2019, Quantités et unités — Partie 2 : Mathématiques, point 2-12 (fonctions exponentielles et logarithmiques).
Questions fréquentes
Pourquoi ne puis-je pas calculer le logarithme de zéro ou d’un nombre négatif ?
Pour une base positive, bʸ est toujours positif : aucun y réel ne donne donc zéro ou un résultat négatif. Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, log_b(x) tend vers −∞ (asymptote verticale). Dans les nombres complexes, les logarithmes de nombres négatifs existent : ln(−x) = ln x + πi ; cette page affiche cette valeur principale pour un argument négatif.
Quelle est la différence entre log, ln et log₂ ?
Ce sont des logarithmes de bases différentes : log est en base 10 dans la plupart des contextes scolaires et d’ingénierie, ln est en base e et log₂ en base 2. Dans certains langages de programmation et ouvrages de mathématiques, « log » désigne le logarithme népérien : vérifiez donc la convention utilisée.
Pourquoi le logarithme népérien est-il si important en analyse ?
Parce que d/dx ln x = 1/x, sans constante supplémentaire. Pour toute autre base, d/dx log_b x = 1 ÷ (x ln b). Le nombre e est la seule base pour laquelle la fonction exponentielle est sa propre dérivée, ce qui explique sa présence dans la croissance, la décroissance et les intérêts composés.
Comment calculer un logarithme dans une base que ma calculatrice ne propose pas ?
Utilisez le changement de base : log_b(x) = ln x ÷ ln b (ou log₁₀ x ÷ log₁₀ b). Pour log₃ 500 : ln 500 ÷ ln 3 = 6.2146 ÷ 1.0986 = 5.6568.
Qu’est-ce qu’un antilogarithme ?
C’est l’opération inverse : l’antilog de y en base b vaut bʸ. Si log₁₀ x = 2.69897, alors x = 10^2.69897 ≈ 500. Utilisez l’onglet Antilog.
Pourquoi la base ne peut-elle pas être 1 ?
Parce que 1 élevé à n’importe quelle puissance vaut 1 : 1ʸ ne peut donc jamais être égal à un autre nombre et log₁(x) serait indéfini. De plus, ln 1 = 0 entraînerait une division par zéro dans la formule du changement de base.
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