Calculatrice de la formule quadratique
Résolvez ax² + bx + c = 0 pour obtenir les racines réelles et complexes, avec le discriminant, la forme radicale exacte, le sommet, l’axe, le foyer et la directrice de la parabole, les formes factorisée et canonique, un graphique et chaque étape du calcul.
Rédigé par Suhaib Hassan. La formule quadratique fait partie de l’algèbre classique, et chaque exemple détaillé est redémontré à la main. Notre méthodologie.
Elle calcule le discriminant Δ = b² − 4ac, classe les racines et simplifie les racines carrées d’entiers en radicaux exacts, comme (−5 ± √13) ÷ 2.
La plupart des solveurs donnent un résultat décimal et s’arrêtent là. Celui-ci montre pourquoi les racines sont ce qu’elles sont : le discriminant, la parabole et la forme factorisée.
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Graphique de la parabole
y = ax² + bx + c avec ses racines, son sommet, son axe de symétrie et son ordonnée à l’origine.
Calcul étape par étape
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Ce que le discriminant vous apprend
Le signe de Δ = b² − 4ac détermine la nature des racines.
| Discriminant | Racines | Graphique | Exemple |
|---|---|---|---|
| Δ > 0, carré parfait | Deux racines rationnelles distinctes | Coupe l’axe des x deux fois | x² − 5x + 6 = 0 → 2, 3 |
| Δ > 0, pas un carré | Deux racines irrationnelles distinctes | Coupe l’axe des x deux fois | x² − 2 = 0 → ±√2 |
| Δ = 0 | Une racine réelle double | Touche l’axe des x au sommet | x² − 6x + 9 = 0 → 3 |
| Δ < 0 | Deux racines complexes conjuguées | Ne rencontre jamais l’axe des x | x² + 2x + 5 = 0 → −1 ± 2i |
Exemples détaillés
Hauteur d’un projectile
Une balle est lancée vers le haut à 20 m/s depuis 1,5 m : h(t) = −4.9t² + 20t + 1.5. Quand retombe-t-elle, et quelle hauteur atteint-elle ?
retombée : t = (20 + √429.4) ÷ 9.8 = 4.155 s
sommet à t = 20 ÷ 9.8 = 2.041 s, hauteur 21.908 m
Nombre d’or
Le nombre d’or est solution de x² − x − 1 = 0.
x = (1 ± √5) ÷ 2
φ = 1.618034, autre racine −0.618034
Racines complexes
x² + 2x + 5 = 0.
x = (−2 ± 4i) ÷ 2
x = −1 ± 2i
Qu’est-ce que la formule quadratique ?
Toute équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 admet pour solutions x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Elle découle de la complétion du carré appliquée à l’équation générale. L’expression sous la racine, Δ = b² − 4ac, est le discriminant.
La parabole derrière l’équation
- Sommet : (h, k) avec h = −b ÷ 2a et k = c − b² ÷ 4a. C’est le minimum si a > 0 et le maximum si a < 0.
- Axe de symétrie : x = h ; les racines se situent symétriquement de part et d’autre.
- Foyer et directrice : (h, k + 1 ÷ 4a) et y = k − 1 ÷ 4a.
- Formes : développée ax² + bx + c ; factorisée a(x − x₁)(x − x₂) ; canonique a(x − h)² + k.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 1.11 (Zeros of polynomials) et chapitre 1, Algebraic and Analytic Methods.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a = 0 ?
L’équation n’est plus du second degré : elle devient bx + c = 0, une équation linéaire dont l’unique solution est x = −c ÷ b (si b ≠ 0). La formule quadratique divise par 2a, elle ne peut donc pas être utilisée. Cette calculatrice vous donne alors la solution linéaire.
Comment les racines complexes apparaissent-elles sur un graphique ?
Lorsque Δ < 0, la parabole ne touche pas l’axe des x : il n’y a donc pas de racines réelles. Les racines complexes p ± qi ont pour partie réelle p = −b ÷ 2a, qui est l’axe de symétrie, et pour partie imaginaire q = √(−Δ) ÷ 2a, qui mesure l’éloignement du sommet par rapport à l’axe.
Pourquoi l’abscisse du sommet est-elle le milieu des racines ?
Les deux racines sont −b ÷ 2a ± √Δ ÷ 2a, leur moyenne est donc −b ÷ 2a, soit exactement l’abscisse du sommet. Une parabole est symétrique par rapport à son axe.
Quels sont la somme et le produit des racines ?
D’après les formules de Viète, x₁ + x₂ = −b ÷ a et x₁ · x₂ = c ÷ a. Elles permettent de vérifier vos réponses : pour x² − 5x + 6, les racines 2 et 3 ont pour somme 5 et pour produit 6.
Quand utiliser plutôt la factorisation ou la complétion du carré ?
La factorisation est la méthode la plus rapide lorsque les racines sont des entiers ou des fractions simples. La complétion du carré permet de démontrer la formule et donne la forme canonique. La formule quadratique fonctionne toujours, quels que soient les coefficients.
Les coefficients peuvent-ils être des décimaux ou des fractions ?
Oui. Saisissez directement les décimaux. Les formes radicales exactes s’affichent lorsque les coefficients sont des entiers ; sinon, vous obtenez des racines décimales précises.
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