Calculatrice de matrices (2×2)
Déterminant, inverse, trace et transposée · multiplication de deux matrices 2×2 · valeurs propres, vecteurs propres et polynôme caractéristique · résolution de Ax = b avec la règle de Cramer — chaque étape et, lorsque c’est exact, la forme rationnelle également.
Rédigé par Suhaib Hassan. Chaque exemple détaillé ci-dessous est recalculé à la main à partir des formules. Notre méthodologie.
Le déterminant et l’inverse utilisent la formule standard de l’adjointe 2×2 ; les valeurs propres résolvent l’équation caractéristique du second degré λ² − tr(A)λ + det(A) = 0 ; le solveur de systèmes applique la règle de Cramer.
Les devoirs d’algèbre linéaire et les vérifications rapides en graphisme ou en ingénierie exigent des fractions exactes, pas seulement des décimales — cet outil affiche les deux.
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Effet géométrique de A sur le carré unité
Comment A transforme les vecteurs de base e₁ = (1, 0) et e₂ = (0, 1).
Calcul étape par étape
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Les classes de matrices en un coup d’œil
Les comportements possibles d’une matrice 2×2.
| Classe | Condition | det(A) | Action géométrique |
|---|---|---|---|
| Non singulière | rang(A) = 2 | ≠ 0 | Application bijective ; l’aire est multipliée par |det(A)| |
| Singulière | rang(A) < 2 | = 0 | Écrase le plan sur une droite ou un point |
| Orthogonale | AᵀA = I | ±1 | Mouvement rigide — une rotation ou une réflexion |
| Symétrique | A = Aᵀ | — | Valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux |
Exemples détaillés
Déterminant & inverse
Pour A = [[3, 2], [1, 4]], trouvez det(A) et A⁻¹.
A⁻¹ = (1/10)[[4, −2], [−1, 3]]
= [[0.4, −0.2], [−0.1, 0.3]]
Valeurs propres
Trouvez les valeurs propres de la même matrice A.
λ² − 7λ + 10 = 0 → (λ − 5)(λ − 2) = 0
λ₁ = 5, λ₂ = 2
Règle de Cramer
Résolvez Ax = b pour b = (8, 7) avec la même matrice A.
x₂ = det([[3,8],[1,7]]) / det(A) = 13/10 = 1.3
x = (1.8, 1.3)
Formules clés pour les matrices 2×2
- Déterminant : det(A) = a·d − b·c pour A = [[a, b], [c, d]].
- Inverse : A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]], défini uniquement si det(A) ≠ 0.
- Trace : tr(A) = a + d, la somme des éléments diagonaux.
- Polynôme caractéristique : p(λ) = λ² − tr(A)λ + det(A) ; ses racines sont les valeurs propres.
- Règle de Cramer : pour Ax = b, xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), où Aᵢ remplace la colonne i de A par b.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Cayley, A. (1858). A memoir on the theory of matrices. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37.
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5e éd.). Wellesley-Cambridge Press. Chapitres 4 & 6.
- ISO 80000-2:2019, Quantités et unités — Partie 2 : Mathématiques, article 11 (matrices).
Questions fréquentes
Que signifie det(A) = 0 ?
Les lignes (ou les colonnes) de A sont linéairement dépendantes — l’une est un multiple scalaire de l’autre. La matrice n’a pas d’inverse et elle envoie le plan sur une droite ou sur un point, et non sur une région 2D pleine.
Comment vérifier qu’un inverse est correct ?
Multipliez A par l’inverse calculé A⁻¹ : le résultat doit être la matrice identité I = [[1, 0], [0, 1]], aux arrondis près. Cette calculatrice effectue cette vérification pour vous.
Une matrice 2×2 peut-elle avoir des valeurs propres complexes ?
Oui — chaque fois que le discriminant tr(A)² − 4·det(A) est négatif, par exemple pour une matrice de rotation (d’angle non multiple de 180°). Les valeurs propres forment alors une paire de complexes conjugués.
Pourquoi la règle de Cramer échoue-t-elle quand det(A) = 0 ?
Parce qu’elle divise par det(A). Un système singulier n’a soit aucune solution, soit une infinité, et la règle de Cramer ne peut pas distinguer ces cas — utilisez plutôt la réduction par lignes.
Que disent les valeurs propres sur le plan géométrique ?
Le long de chaque direction propre, A agit comme une simple homothétie du facteur de la valeur propre correspondante — sans rotation. Des valeurs propres réelles signifient que l’application étire ou retourne selon des directions fixes ; des valeurs complexes signifient qu’elle comporte une rotation.
A⁻¹A est-il toujours égal à AA⁻¹ ?
Oui, pour une matrice carrée inversible, A⁻¹A = AA⁻¹ = I. C’est une propriété propre aux matrices carrées ; elle ne vaut pas pour les matrices non carrées, qui n’ont au mieux que des inverses unilatéraux.
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