Calculatrice de permutations et combinaisons (nPr et nCr)
Dénombrez des arrangements (l'ordre compte) et des sélections (l'ordre ne compte pas) — avec ou sans répétition. Les résultats sont des entiers exacts, aussi grands soient-ils, avec la simplification factorielle détaillée étape par étape.
Rédigé par Suhaib Hassan. Les formules de dénombrement sont standard et chaque exemple est recalculé à la main. Notre méthodologie.
Elle utilise une arithmétique entière en précision arbitraire, en ne multipliant que les facteurs qui ne se simplifient pas ; il n'y a donc ni arrondi ni dépassement, même lorsque n se compte en centaines.
Choisir la mauvaise formule est l'erreur habituelle. Un guide de décision et un comparatif côte à côte des quatre cas vous aident à bien choisir.
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Numérateur
Ordonnancements de r éléments
Facteurs simplifiés
Permutation ou combinaison : l'ordre compte-t-il ?
Une permutation compte séparément chaque ordre différent. Une combinaison traite les ordres d'un même ensemble d'éléments comme une seule sélection ; chaque combinaison correspond donc à r! permutations.
Permutations l'ordre compte
Trois jetons A, B, C peuvent être arrangés dans 3! = 6 ordres différents :
Chaque arrangement ordonné est un résultat distinct — comme les places d'or, d'argent et de bronze dans une course.
Combinaisons l'ordre ne compte pas
Les six ordres contiennent les mêmes trois jetons ; ils se regroupent donc en une seule combinaison :
C(n, r) = P(n, r) ÷ r! — comme le choix d'un comité, où seule l'appartenance compte.
Calcul étape par étape
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Les quatre formules de dénombrement
Combinaisons sans répétition
Sélections non ordonnées où chaque élément ne peut être choisi qu'une seule fois au plus.
Permutations sans répétition
Arrangements ordonnés sans réutilisation : n choix, puis n − 1, et ainsi de suite.
Combinaisons avec répétition
Multi-ensembles de taille r parmi n types (le dénombrement « étoiles et barres »), où les éléments peuvent se répéter et l'ordre est ignoré.
Permutations avec répétition
Séquences ordonnées où chacune des r positions peut indépendamment être n'importe lequel des n symboles.
Quand l'ordre compte-t-il ?
Un guide rapide pour choisir la bonne formule. Tous les dénombrements sont exacts.
| Scénario | L'ordre compte ? | Formule | Configuration | Résultat exact |
|---|---|---|---|---|
| Cadenas de casier, nombres distincts | Oui | P(n, r) | 3 nombres différents de 0 à 39 | 59,280 |
| Loto, 6 numéros | Non | C(n, r) | 6 parmi 49 | 13,983,816 |
| Podium d'une course | Oui | P(n, r) | 3 premiers sur 8 sprinteurs | 336 |
| Garnitures de pizza | Non | C(n, r) | 3 garnitures parmi 10 | 120 |
| Mot de passe, caractères répétables | Oui | nʳ | 62 caractères, 8 positions | 218,340,105,584,896 |
Exemples détaillés
Espace de clés d'un mot de passe
Un mot de passe de 8 caractères parmi 26 minuscules + 26 majuscules + 10 chiffres (62 symboles), répétition autorisée.
log₂ = 8 × 5.954 ≈ 47.6 bits
Choix d'un groupe d'essai
Sélectionner 20 participants parmi 100, ordre sans importance.
≈ 5.36 × 10²⁰ groupes possibles
Liaisons d'un réseau maillé
Combien de liaisons point à point relient 24 serveurs de sorte que chaque paire soit connectée ?
Que sont les permutations et les combinaisons ?
Les permutations et les combinaisons dénombrent les façons de sélectionner des éléments dans un ensemble. Une permutation est un arrangement ordonné ; une combinaison est une sélection non ordonnée. La factorielle n! = n × (n − 1) × … × 1 sous-tend les deux, avec 0! défini comme 1.
Comment choisir la formule
- L'ordre des éléments choisis crée-t-il un résultat différent ? Si oui, utilisez les permutations ; sinon, utilisez les combinaisons.
- Le même élément peut-il être choisi plus d'une fois ? Si oui, utilisez les formules « avec répétition ».
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 26.3 (Lattice paths: binomial coefficients) and chapter 26, Combinatorial Analysis.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Addison-Wesley.
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (notation for factorials and binomial coefficients).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?
Une permutation compte les arrangements ordonnés ; (1, 2, 3) et (3, 2, 1) sont donc différents. Une combinaison compte les sélections non ordonnées ; ils sont donc identiques. Comme chaque combinaison de taille r peut être arrangée de r! façons, le nombre de permutations est toujours r! fois le nombre de combinaisons.
Pourquoi un « cadenas à combinaison » est-il en réalité un cadenas à permutation ?
Parce que l'ordre dans lequel vous saisissez les chiffres compte : 1-2-3 l'ouvre, mais pas 3-2-1. Il s'agit à proprement parler d'un dénombrement de séquences ordonnées, qui utilise donc les formules de permutation (avec répétition si les chiffres peuvent être réutilisés).
Comment cette calculatrice gère-t-elle les très grandes factorielles ?
Elle utilise une arithmétique entière en précision arbitraire ; les résultats sont donc exacts et non arrondis en virgule flottante. Les nombres de plus de 18 chiffres s'affichent en notation scientifique, et « Copier la valeur exacte » copie tous les chiffres.
Que sont les « étoiles et barres » ?
C'est une méthode pour dénombrer les combinaisons avec répétition. Choisir r éléments parmi n types, avec répétitions autorisées et ordre ignoré, équivaut à placer r étoiles et n − 1 barres à la suite, ce qui donne C(n + r − 1, r).
Que vaut 0! et que se passe-t-il si r = 0 ?
Par définition, 0! = 1. Choisir zéro élément ne peut se faire que d'une seule façon, donc C(n, 0) = P(n, 0) = 1, et n⁰ = 1.
Pourquoi r ne peut-il pas dépasser n sans répétition ?
Vous ne pouvez pas choisir plus d'éléments distincts qu'il n'en existe ; le dénombrement vaut donc 0. La calculatrice vous demande de saisir r ≤ n pour les formules sans répétition ; avec répétition autorisée, r peut être supérieur à n.
Calculateurs associés
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