Calculatrice de probabilités
Calculez la probabilité que deux ou trois événements se produisent ensemble ou séparément, mettez à jour une probabilité avec le théorème de Bayes, ou convertissez entre probabilité, cotes et « 1 sur N », avec un diagramme de Venn et chaque étape du calcul.
Rédigé par Suhaib Hassan. Chaque règle utilisée ici est un théorème classique, et chaque exemple détaillé est re-démontré à la main. Notre méthodologie.
Il vérifie que vos données sont des probabilités valides, puis applique la règle de multiplication, la règle d’addition, la règle du complémentaire et le théorème de Bayes exactement comme indiqué ci-dessous.
Incompatible et indépendant sont souvent confondus. Cette page fait de leur relation un choix explicite et rejette les combinaisons impossibles.
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Les trois axiomes de Kolmogorov
Toute la théorie moderne des probabilités repose sur trois règles, formalisées par Andreï Kolmogorov en 1933. Cette calculatrice rejette toute saisie qui les enfreint.
1. Positivité
La probabilité d’un événement n’est jamais négative.
2. Mesure unitaire
Il faut qu’il se produise quelque chose dans l’espace échantillon, donc la probabilité totale vaut exactement 1.
3. Additivité
Pour des événements qui ne peuvent pas se produire ensemble, les probabilités s’additionnent.
Événements incompatibles et événements indépendants
Deux des notions les plus confondues en probabilités. Elles sont presque opposées.
| Propriété | Incompatibles | Indépendants |
|---|---|---|
| Signification | A et B ne peuvent pas se produire ensemble : A ∩ B = ∅ | Savoir que A s’est produit ne vous apprend rien sur B |
| Intersection P(A ∩ B) | 0 | P(A) × P(B) |
| Union P(A ∪ B) | P(A) + P(B) | P(A) + P(B) − P(A)P(B) |
| Conditionnelle P(A | B) | 0 | P(A) |
| Les deux peuvent-ils s’appliquer ? | Seulement si P(A) = 0 ou P(B) = 0. Si les deux événements sont possibles, être incompatibles signifie que savoir que l’un s’est produit vous indique que l’autre ne s’est pas produit, ils sont donc dépendants. | |
Exemples détaillés
Chacun est vérifié à la main et peut être reproduit ci-dessus.
Dépistage d’une maladie rare
Une maladie touche 1 personne sur 1 000. Un test la détecte dans 95 % des cas et donne un faux positif dans 5 % des cas. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu’elle soit atteinte ?
P(A|B) = 0,00095 ÷ 0,05090
= 0,0187 (environ 1,87 %)
La plupart des tests positifs sont de faux positifs, car la maladie est très rare. Utilisez l’onglet Théorème de Bayes.
Au moins un six en quatre lancers
En lançant quatre fois un dé équilibré : la probabilité d’obtenir au moins un six.
P(aucun six en quatre) = (5/6)⁴ = 0,4823
P(au moins un six) = 1 − 0,4823 = 0,5177
Utilisez l’onglet Cotes avec p = 1/6 (0,1667) et 4 épreuves.
Deux sauvegardes indépendantes
Chacun de deux systèmes de sauvegarde indépendants tombe en panne avec une probabilité de 0,02.
Au moins un tombe en panne : 0,02 + 0,02 − 0,0004 = 0,0396
Saisissez 0,02 et 0,02 dans l’onglet Deux événements, indépendants.
Qu’est-ce que la probabilité ?
La probabilité mesure la vraisemblance d’un événement, sur une échelle de 0 (impossible) à 1 (certain). Elle peut s’écrire sous forme de décimale, de pourcentage, de fraction, de cotes ou de fréquence, comme « 1 sur 20 ».
Les règles fondamentales
- Complémentaire : P(non A) = 1 − P(A).
- Addition (l’un ou l’autre) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). L’intersection est soustraite pour ne pas être comptée deux fois.
- Multiplication (les deux événements), indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), pour P(B) > 0.
- Théorème de Bayes : P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), où P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | non A)P(non A).
- Cotes : cotes en faveur = p ÷ (1 − p) ; p = a ÷ (a + b) pour des cotes a : b.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin.
- Grinstead, C. M. & Snell, J. L. (1997). Introduction to Probability, 2nd ed. American Mathematical Society.
- Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995). How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684–704.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre événements incompatibles et événements indépendants ?
Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble, donc P(A ∩ B) = 0. Des événements indépendants peuvent se produire ensemble, et la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si les deux ont une probabilité non nulle, les événements ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants.
Pourquoi ne peut-on pas simplement additionner les probabilités pour « A ou B » ?
Si les événements peuvent se chevaucher, l’addition compte deux fois le chevauchement. La règle d’addition soustrait une fois P(A ∩ B) pour corriger cela. L’addition seule n’est exacte que pour des événements incompatibles.
À quoi sert le théorème de Bayes ?
Il met à jour une probabilité a priori lorsque vous observez un nouvel indice. Il inverse une probabilité conditionnelle : à partir de P(B | A), la vraisemblance de l’indice si A est vrai, il donne P(A | B), la probabilité de A compte tenu de l’indice, en tenant compte de la fréquence initiale de A.
Qu’est-ce que le sophisme du joueur ?
C’est la croyance erronée que des résultats indépendants passés modifient les résultats futurs, par exemple que « pile » serait « dû » après une série de « face ». Pour des événements indépendants, P(A | B) = P(A) : la pièce n’a pas de mémoire.
Comment convertir une probabilité en cotes ?
Les cotes en faveur valent p ÷ (1 − p). Une probabilité de 0,4 donne des cotes de 0,4 ÷ 0,6 = 2 contre 3 en faveur, soit 3 contre 2 défavorables. Utilisez l’onglet Cotes pour convertir dans les deux sens.
Une probabilité peut-elle être supérieure à 1 ou négative ?
Non. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1 inclus (0 % à 100 %). La calculatrice rejette les valeurs hors de cet intervalle, ainsi que les probabilités conjointes impossibles compte tenu de P(A) et P(B).
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