Calculatrice de probabilité binomiale
Trouvez la probabilité exacte d'obtenir k succès en n épreuves indépendantes — P(X = k), P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k) et P(X > k) — avec l'espérance, la variance et la forme de la distribution, un histogramme des probabilités et chaque étape du calcul.
Rédigé par Suhaib Hassan. La formule et chaque exemple détaillé sont redémontrés à la main. Notre méthodologie.
Elle évalue C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ à l'aide de logarithmes de factorielles, de sorte qu'un grand n ne provoque pas de dépassement, puis additionne les termes pour obtenir les résultats cumulés.
Les tables des manuels s'arrêtent à de petites valeurs de n et arrondissent fortement. Cette calculatrice donne toutes les queues de distribution au même endroit et montre le calcul derrière la réponse.
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Fonction de masse
La probabilité de chaque nombre de succès possible. Les barres correspondant à l'événement demandé sont foncées ; la ligne en pointillés marque la moyenne.
Calcul étape par étape
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Équations et conditions
Les équations
Quatre conditions pour un modèle binomial
- Nombre d'épreuves fixe. n est fixé à l'avance.
- Deux issues. Chaque épreuve est un succès ou un échec.
- Probabilité constante. p est identique à chaque épreuve.
- Indépendance. Le résultat d'une épreuve n'influence pas celui d'une autre.
Exemples détaillés
Chacun utilise des sommes binomiales exactes, vérifiées à la main et reproductibles avec les préréglages et les champs ci-dessus.
Contrôle de lot
Un lot présente un taux de défauts de 2 %. Un contrôleur teste 50 unités et rejette le lot si plus de 2 sont défectueuses.
= 0,36417 + 0,37160 + 0,18580 = 0,92157
P(rejet) = P(X > 2) = 0,0784
Réponse clinique
Un traitement est efficace chez 70 % des patients. Sur 30 patients, quelle est la probabilité qu'au moins 25 y répondent ?
P(X ≥ 25) = 0,0766 (environ 7,7 %)
Espérance = 21 répondeurs
Perte de paquets
Chacun des 64 paquets est perdu indépendamment avec une probabilité de 0,05. Quelle est la probabilité que plus de 5 soient perdus ?
P(X ≤ 5) = 0,89990
P(X > 5) = 0,1001 (environ 10,0 %)
Qu'est-ce que la loi binomiale ?
La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement k succès en n épreuves indépendantes lorsque chaque épreuve réussit avec la même probabilité p. Les exemples typiques sont le nombre de « face » lors de lancers de pièce, le nombre d'articles défectueux dans un échantillon, ou le nombre de patients qui répondent à un traitement.
Comment calculer une probabilité binomiale
- Calculez le coefficient binomial C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!), le nombre de façons de choisir les épreuves qui réussissent.
- Multipliez par pᵏ, la probabilité que ces k épreuves réussissent toutes.
- Multipliez par (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, la probabilité que toutes les autres épreuves échouent.
- Pour une probabilité cumulée, additionnez les termes sur la plage de valeurs de k dont vous avez besoin.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.6.6.18 Binomial distribution
- Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
- ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre les lois binomiale et hypergéométrique ?
Le modèle binomial suppose des épreuves indépendantes de probabilité constante, comme dans un tirage avec remise ou dans une très grande population. La loi hypergéométrique modélise un tirage sans remise dans une population finie, où chaque tirage modifie les chances du suivant. Lorsque l'échantillon représente une petite fraction de la population (généralement moins de 5 %), la loi binomiale en est une bonne approximation.
Quand puis-je utiliser une approximation normale ?
Une règle empirique courante veut que np et n(1 − p) soient tous deux au moins égaux à 5 (certains manuels retiennent 10). X suit alors approximativement une loi normale de moyenne np et d'écart type √(npq), généralement avec une correction de continuité de ±0,5. Cette calculatrice donne la réponse exacte : aucune approximation n'est donc nécessaire.
Comment la calculatrice évite-t-elle les dépassements pour de grandes valeurs de n ?
Au lieu de multiplier d'énormes factorielles, elle travaille avec le logarithme du coefficient binomial (à l'aide de la fonction log-gamma) et applique l'exponentielle à la fin. Le coefficient exact affiché dans les étapes est calculé séparément en arithmétique entière.
Que se passe-t-il lorsque p vaut 0 ou 1 ?
Le résultat est certain : si p = 0, chaque épreuve échoue, donc P(X = 0) = 1 ; si p = 1, chaque épreuve réussit, donc P(X = n) = 1. La variance est nulle et la distribution se réduit à un seul point.
Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès ?
Utilisez l'événement complémentaire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Posez k = 1 et choisissez P(X ≥ k) pour l'obtenir directement.
Et si mes épreuves ne sont pas indépendantes ?
Dans ce cas, le modèle binomial ne s'applique pas exactement. Selon la situation, un modèle hypergéométrique ou un autre modèle peut être plus adapté. L'indépendance et une probabilité constante sont des hypothèses essentielles.
Calculateurs associés
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