Calculatrice de factorielle
Calculez n! exactement, ainsi que les doubles et multifactorielles, les sous-factorielles et les factorielles fractionnaires grâce à la fonction Gamma — avec zéros terminaux, décomposition en facteurs premiers, nombre de chiffres et précision de l’approximation de Stirling.
Rédigé par Suhaib Hassan. Les identités relèvent de la théorie des nombres et de l’analyse classiques, et chaque exemple détaillé est recalculé à la main. Notre méthodologie.
Elle multiplie avec des entiers de taille arbitraire, donc aucun dépassement à 170!. Les exposants premiers proviennent de la formule de Legendre, et la fonction Gamma d’une approximation de Lanczos.
Les factorielles croissent de façon étonnamment rapide. Cette page affiche la valeur exacte, son ordre de grandeur et la raison pour laquelle les approximations fonctionnent.
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À quelle vitesse croissent les factorielles
log₁₀ de n! (bleu) face à l’approximation de Stirling (orange) et à eⁿ (gris, en pointillés). Les factorielles dépassent toute exponentielle.
Calcul étape par étape
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Référence de la famille des factorielles
Fonctions apparentées, avec les valeurs pour n = 10.
| Fonction | Notation | Définition | Valeur pour n = 10 | Utilisation |
|---|---|---|---|---|
| Factorielle | n! | n·(n−1)·…·2·1, 0! = 1 | 3,628,800 | Permutations, séries |
| Double factorielle | n!! | n·(n−2)·(n−4)·… | 3,840 | Intégrales, volumes sphériques |
| Sous-factorielle | !n | n!·Σ(−1)ᵏ/k! | 1,334,961 | Dérangements (sans point fixe) |
| Fonction Gamma | Γ(z) | ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt | Γ(11) = 3,628,800 | Factorielles fractionnaires, statistiques |
| Factorielle décroissante | (n)ₖ | n!/(n−k)! | (10)₃ = 720 | Sélections ordonnées |
Exemples détaillés
Battre un jeu de cartes
Combien d’ordres possibles pour un jeu de 52 cartes ?
68 chiffres — bien plus que le nombre de secondes écoulées depuis le Big Bang, si bien qu’un jeu bien battu se trouve presque sûrement dans un ordre jamais vu auparavant.
Zéros terminaux de 100!
Par combien de zéros se termine 100! ?
(il y a toujours plus de facteurs 2 que de facteurs 5)
Factorielle fractionnaire
Que vaut (½)! ?
= 0.886227
Qu’est-ce qu’une factorielle ?
La factorielle n! est le produit de tous les nombres entiers de 1 à n, avec 0! = 1 par convention (il existe exactement une façon de ne rien arranger). Elle compte les façons d’ordonner n objets distincts et croît plus vite que toute exponentielle : 10! = 3,628,800 et 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸.
Faits utiles
- Zéros terminaux (Legendre) : le nombre de facteurs d’un nombre premier p dans n! est Σ ⌊n/pᵏ⌋. Le nombre de zéros est égal au nombre de facteurs 5.
- Approximation de Stirling : n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, avec une erreur relative d’environ 1/(12n).
- Amélioration de Ramanujan : n! ≈ √π (n/e)ⁿ (8n³ + 4n² + n + 1/30)^(1/6), bien plus précise.
- Fonction Gamma : Γ(n + 1) = n!, qui étend les factorielles aux nombres réels et complexes.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 28 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapitre 5 (fonction Gamma), y compris la section 5.11 sur les développements asymptotiques.
- Stirling, J. (1730). Methodus Differentialis. Londres.
- Legendre, A.-M. (1808). Essai sur la théorie des nombres, 2e éd. Paris — la formule des exposants premiers.
- Euler, L. (1729). Lettre à Goldbach sur l’interpolation des factorielles — origine de la fonction Gamma.
Questions fréquentes
Pourquoi 0! vaut-il 1 ?
Parce qu’il existe exactement une façon d’arranger zéro objet (ne rien faire), et parce que cela maintient vraie la récurrence n! = n · (n − 1)! pour n = 1 (1 = 1 · 0!). Cela permet aussi à des formules comme C(n, 0) = n! ÷ (0! n!) = 1 de fonctionner.
Comment la formule de Legendre compte-t-elle les zéros terminaux sans tout multiplier ?
Chaque zéro terminal nécessite un facteur 10 = 2 × 5. Les facteurs 2 sont plus abondants que les 5, donc le nombre de zéros est égal au nombre de 5 dans n!. Les multiples de 5 en apportent un chacun, les multiples de 25 un de plus, les multiples de 125 encore un de plus, et ainsi de suite : Σ ⌊n/5ᵏ⌋.
Quelle est la différence entre la formule de Stirling et la correction de Ramanujan ?
Le terme principal de Stirling sous-estime n! d’environ 1/(12n) en valeur relative (0.83 % pour n = 10). La version de Ramanujan ajoute un terme cubique sous une racine sixième, réduisant l’erreur relative à environ 9 × 10⁻⁸ pour n = 10 (moins de 0.00001 %).
Comment cette calculatrice évite-t-elle le dépassement de capacité ?
La virgule flottante ordinaire en 64 bits dépasse sa capacité à 171! (environ 10³⁰⁸). Cette page utilise des entiers de taille arbitraire pour obtenir des résultats exacts jusqu’à 3 000!, et des logarithmes pour les comparaisons avec Stirling, de sorte que rien ne déborde.
La double factorielle (n!!) est-elle la factorielle d’une factorielle ?
Non. n!! multiplie un nombre sur deux en descendant depuis n (10!! = 10 · 8 · 6 · 4 · 2 = 3,840). La factorielle d’une factorielle serait (n!)!, qui est astronomiquement plus grande.
Puis-je calculer la factorielle d’un nombre négatif ou d’une fraction ?
Pas avec la définition pour les nombres entiers. La fonction Gamma l’étend à tous les nombres réels sauf les entiers négatifs, où elle a des pôles : (−1)!, (−2)!, … sont indéfinis. Utilisez l’onglet Gamma pour les valeurs fractionnaires.
Calculateurs associés
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