Calculatrice de nombres complexes
Additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez deux nombres complexes ; trouvez le module, l'argument, le conjugué et la forme polaire d'un nombre ; ou calculez des puissances entières et des racines n-ièmes avec le théorème de De Moivre — avec un tracé dans le plan complexe et chaque étape détaillée.
Rédigé par Suhaib Hassan. Chaque identité est redémontrée à la main. Notre méthodologie.
L'arithmétique utilise les règles algébriques usuelles (i² = −1) ; les puissances et les racines utilisent le théorème de De Moivre sur la forme polaire r(cos θ + i sin θ).
Elle représente chaque nombre dans le plan d'Argand, de sorte que la géométrie derrière l'algèbre n'est jamais cachée.
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Plan d'Argand
Chaque nombre est représenté par un point (Re, Im).
Calcul étape par étape
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Exemples détaillés
Multiplication
(3+4i) × (1−2i)
= 11 − 2i
Module et argument
Trouvez |3+4i| et Arg(3+4i).
θ = atan2(4,3) ≈ 53,13°
Puissance de De Moivre
(1+i)⁸
(1+i)⁸ = 16
Formules clés
- Multiplication : (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.
- Division : multipliez par le conjugué : z₁/z₂ = z₁z̄₂ / |z₂|².
- Module : |z| = √(a²+b²). Argument : θ = atan2(b, a), dans (−π, π].
- Théorème de De Moivre : [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ).
- Racines n-ièmes : ⁿ√z a n valeurs, aux angles (θ+2πk)/n pour k = 0, …, n−1, chacune de module |z|^(1/n).
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 29 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2013). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill, chapters 1–2.
- ISO 80000-2:2019, clause 8 (complex numbers).
Questions fréquentes
Pourquoi la division de nombres complexes utilise-t-elle le conjugué ?
Multiplier le dénominateur par son conjugué z̄ le transforme en le nombre réel |z|², ce qui élimine i du dénominateur — l'équivalent complexe de la rationalisation d'une racine carrée.
Quelle est la signification géométrique de la multiplication de nombres complexes ?
La multiplication multiplie les modules et additionne les arguments — géométriquement, elle réalise une homothétie et une rotation. C'est exactement ce que le théorème de De Moivre généralise aux puissances et aux racines.
Pourquoi un nombre complexe possède-t-il n racines n-ièmes distinctes ?
Parce que des angles qui diffèrent d'un tour complet (2π) décrivent le même point, mais que l'élévation à la puissance n multiplie l'angle par n — de sorte que n angles de départ différents, espacés de 2π/n, aboutissent tous au même résultat.
À quoi sert le conjugué d'un nombre complexe ?
Outre la division, z·z̄ = |z|² donne toujours un nombre réel, ce qui est essentiel pour trouver des modules, normaliser des vecteurs et, en traitement du signal, calculer une puissance à partir d'une amplitude complexe.
Quel est le lien entre la formule d'Euler et la forme polaire ?
La formule d'Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ permet d'écrire la forme polaire r(cos θ + i sin θ) de façon compacte sous la forme r·e^(iθ) — le même nombre, et la forme qui rend la multiplication, les puissances et les racines les plus naturelles.
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