Modulo-Rechner
Berechnen Sie a mod n mit dem korrekten Vorzeichen bei negativen Zahlen, prüfen Sie eine Kongruenz a ≡ b (mod n), finden Sie eine modulare Inverse oder berechnen Sie eine große modulare Potenz aᵇ mod n exakt – jeder Schritt wird gezeigt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Jedes durchgerechnete Beispiel wurde von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Modulo nutzt exakte BigInt-Division; die modulare Inverse verwendet den erweiterten euklidischen Algorithmus; die Potenzierung nutzt schnelle (binäre) modulare Exponentiation, sodass selbst riesige Exponenten exakt und schnell bleiben.
Programmiersprachen sind sich beim Vorzeichen von a % b für negative Zahlen uneins – hier sehen Sie beide Konventionen nebeneinander.
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Wo a auf dem Zahlenstrahl mod n landet
Jedes Vielfache von n ist markiert; a wird auf seinen Rest in [0, n) umgebrochen.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Abgerundetes vs. abgeschnittenes Modulo
Sprachen sind sich beim Vorzeichen des Ergebnisses uneins, wenn a negativ ist.
| Konvention | Formel | −7 mod 3 | Verwendet von |
|---|---|---|---|
| Abgerundet (Standard dieses Rechners) | a − n·⌊a/n⌋ | 2 | Python %, Mathematik |
| Abgeschnitten | a − n·trunc(a/n) | −1 | C, Java, JavaScript % |
Rechenbeispiele
Negativer Dividend
Was ist −7 mod 3?
−7 mod 3 = 2 (abgerundet)
Kongruenz
Gilt 17 ≡ 5 (mod 6)?
Ja – beide Seiten ergeben denselben Rest
Modulare Inverse
Bestimmen Sie 3⁻¹ mod 11.
3⁻¹ ≡ 4 (mod 11)
Wichtige Definitionen
- Modulo: a mod n ist der Rest, der beim Teilen von a durch n übrig bleibt, mit 0 ≤ (a mod n) < n für n > 0 nach der Abrundungskonvention.
- Kongruenz: a ≡ b (mod n) bedeutet, dass n die Differenz (a − b) genau teilt – a und b lassen denselben Rest.
- Modulare Inverse: a⁻¹ mod n ist der Wert x mit a·x ≡ 1 (mod n); sie existiert genau dann, wenn ggT(a, n) = 1.
- Modulare Exponentiation: aᵇ mod n, berechnet durch wiederholtes Quadrieren, sodass es auch bei riesigem b schnell bleibt.
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 29. September 2026 · So prüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae, Article 1 (the definition of congruence).
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2 (3rd ed.), section 4.5.2 (the Euclidean algorithm and modular inverses).
- ISO/IEC 80000-2:2019, clause 9 (the floor function and integer division).
Häufig gestellte Fragen
Warum ist −7 mod 3 gleich 2 und nicht −1?
Nach der mathematischen Konvention (Abrundung) hat das Ergebnis von a mod n immer dasselbe Vorzeichen wie n (hier positiv), liegt also in [0, n). −7 = 3 × (−3) + 2, der Rest ist also 2. Manche Programmiersprachen runden stattdessen zur Null hin ab und liefern −1 – dieser Rechner zeigt beides.
Wann existiert keine modulare Inverse?
Genau dann, wenn ggT(a, n) ≠ 1 – das heißt, a und n haben einen gemeinsamen Teiler. Zum Beispiel hat 4 keine Inverse mod 8, da ggT(4, 8) = 4.
Wie wird aᵇ mod n bei einem riesigen Exponenten b berechnet?
Durch schnelle (binäre) Exponentiation: a mod n wird wiederholt quadriert, und die Faktoren, die zu den Binärziffern von b gehören, werden einmultipliziert, wobei in jedem Schritt der Modulus angewendet wird. Dafür sind nur etwa log₂(b) Multiplikationen nötig, sodass selbst ein Exponent mit 1000 Stellen sofort berechnet ist.
Wofür wird die Modulo-Operation verwendet?
Für Uhr- und Kalenderrechnung, Hashtabellen, Prüfsummen, Kryptografie (RSA beruht auf modularer Exponentiation), Pseudozufallszahlengeneratoren und das zyklische Durchlaufen von Array-Indizes.
Ist a mod 0 definiert?
Nein – die Division durch null ist nicht definiert, daher hat a mod 0 keinen Wert. Dieser Rechner meldet dies als Fehler, statt ein Ergebnis zu liefern.
Worin unterscheidet sich Kongruenz von Gleichheit?
Gleichheit bedeutet, dass zwei Zahlen identisch sind. Kongruenz mod n ist schwächer: Sie verlangt nur, dass beide bei Division durch n denselben Rest lassen, sodass unendlich viele Zahlen (…, b−n, b, b+n, b+2n, …) alle kongruent zu b sind.
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