Bruchrechner
Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie Brüche und gemischte Zahlen oder kürzen Sie einen Bruch — mit dem Ergebnis als gekürztem Bruch, gemischter Zahl, Dezimalzahl (auch periodisch) und Prozentwert sowie jedem gezeigten Schritt.
Verfasst von Suhaib Hassan. Die Regeln sind Standardarithmetik, und die Rechenbeispiele werden von Hand neu hergeleitet. Unsere Methodik.
Er verwendet Ganzzahlen beliebiger Größe, findet den kleinsten gemeinsamen Nenner, fasst die Zähler zusammen und kürzt dann mit dem euklidischen Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler. Gerundet wird erst bei der Dezimalanzeige.
Brüche sind exakt, Dezimalzahlen nicht. Diese Seite behält das exakte Ergebnis bei und zeigt jeden Schritt, auch wie sich eine periodische Dezimalzahl wiederholt.
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Zahlenstrahl
Wo die Brüche und das Ergebnis zwischen ganzen Zahlen liegen.
Rechenweg Schritt für Schritt
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Regeln der Bruchrechnung
Die vier Grundrechenarten und das Kürzen.
| Operation | Regel | Beispiel | Bedingung |
|---|---|---|---|
| Addieren | a/b + c/d = (ad + bc) / bd | 3/4 + 2/3 = 17/12 | b, d ≠ 0; der kleinste gemeinsame Nenner hält die Zahlen klein |
| Subtrahieren | a/b − c/d = (ad − bc) / bd | 3/4 − 2/3 = 1/12 | Das Ergebnis kann negativ sein |
| Multiplizieren | a/b × c/d = ac / bd | 3/4 × 2/3 = 1/2 | Kürzen Sie zuerst gemeinsame Faktoren, um die Zahlen klein zu halten |
| Dividieren | a/b ÷ c/d = ad / bc | 3/4 ÷ 2/3 = 9/8 | c ≠ 0: Divisor umdrehen und multiplizieren |
| Kürzen | a/b = (a÷g) / (b÷g) | 18/24 = 3/4 | g = ggT(a, b) |
Rechenbeispiele
Längen addieren
Ein 1 5/8″ dickes Brett plus eine 3/32″ dicke Dichtung.
52/32 + 3/32 = 55/32
= 1 23/32 Zoll
Volumina zusammenfassen
2/5 mL einer Lösung plus 3/8 mL einer anderen.
16/40 + 15/40 = 31/40 mL
Ein Rezept skalieren
Ein Rezept braucht 3/4 Tasse Zucker; Sie machen 2 2/3 Portionen.
= 2 Tassen
Was ist ein Bruch?
Ein Bruch a/b steht für a Teile von b gleich großen Teilen oder für den Quotienten a ÷ b. Er ist ein echter Bruch, wenn a < b, ein unechter Bruch, wenn a ≥ b, und eine gemischte Zahl verbindet eine ganze Zahl mit einem echten Bruch (1 5/12 = 17/12). Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie denselben Wert haben: 2/4 = 1/2.
So kürzen Sie
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT), den Sie mit dem euklidischen Algorithmus finden. Für 17/12: ggT(17, 12) = ggT(12, 5) = ggT(5, 2) = ggT(2, 1) = 1, also ist 17/12 bereits vollständig gekürzt.
Periodische Dezimalzahlen
Ein vollständig gekürzter Bruch hat genau dann eine abbrechende Dezimaldarstellung, wenn sein Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Andernfalls ist die Dezimalzahl periodisch; die Periode ist höchstens (Nenner − 1) Stellen lang. Zum Beispiel 17/12 = 1.41666… = 1.41(6).
Von Suhaib Hassan · Geprüft am 28. September 2026 · So überprüft CalculatePilot Formeln →
Quellen
- Euklid, Elemente, Buch VII, Propositionen 1–2 — der euklidische Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3. Aufl., Abschnitt 4.5 (rationale Arithmetik).
- ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics.
Häufig gestellte Fragen
Warum den kleinsten gemeinsamen Nenner verwenden, statt einfach die Nenner zu multiplizieren?
Jeder gemeinsame Nenner funktioniert, aber der kleinste hält die Zahlen klein und erspart oft einen späteren Kürzungsschritt. Bei 5/6 + 1/4 ergibt das Multiplizieren 26/24, was zu 13/12 gekürzt werden muss; der kgV-Nenner 12 liefert direkt 13/12.
Woran erkenne ich, ob eine Dezimalzahl abbricht oder periodisch ist?
Kürzen Sie den Bruch und zerlegen Sie dann den Nenner in Faktoren. Enthält er nur 2er und 5er, bricht die Dezimalzahl ab (3/8 = 0.375). Jeder andere Primfaktor führt zu einer periodischen Dezimalzahl (1/3 = 0.(3), 1/7 = 0.(142857)).
Wie funktionieren negative Brüche?
Nur der Bruch als Ganzes trägt ein Vorzeichen: −3/4 = 3/(−4) = −(3/4). Dieser Rechner hält den Nenner positiv und setzt das Vorzeichen in den Zähler (oder vor eine gemischte Zahl).
Wie wandle ich eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um?
Multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Nenner, addieren Sie den Zähler und behalten Sie den Nenner bei: 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3. In die andere Richtung dividieren Sie und behalten den Rest: 7/3 = 2 Rest 1, also 2 1/3.
Warum darf der Nenner nicht null sein?
Die Division durch null ist nicht definiert. Ein Nenner von 0 würde bedeuten, etwas in null Teile zu teilen. Auch die Division durch einen Bruch mit dem Zähler 0 ist nicht definiert.
Was ist ein Kettenbruch?
Er schreibt eine Zahl als ganzen Anteil plus 1 durch einen weiteren ganzen Anteil plus 1 durch …: 17/12 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)), geschrieben als [1; 2, 2, 2]. Die Quotienten sind genau diejenigen, die der euklidische Algorithmus liefert.
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