Calculatrice de modulo
Calculez a mod n avec le bon signe pour les nombres négatifs, vérifiez une congruence a ≡ b (mod n), trouvez un inverse modulaire ou calculez exactement une grande exponentiation modulaire aᵇ mod n — chaque étape détaillée.
Rédigé par Suhaib Hassan. Chaque exemple détaillé est recalculé à la main. Notre méthodologie.
Le modulo utilise une division BigInt exacte ; l’inverse modulaire utilise l’algorithme d’Euclide étendu ; l’exponentiation utilise l’exponentiation modulaire rapide (binaire), de sorte que même les très grands exposants restent exacts et rapides.
Les langages de programmation ne s’accordent pas sur le signe de a % b pour les nombres négatifs — cet outil affiche les deux conventions côte à côte.
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Où se situe a sur la droite numérique modulo n
Chaque multiple de n est marqué ; a se replie sur son résidu dans [0, n).
Calcul étape par étape
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Modulo avec partie entière vs tronqué
Les langages ne s’accordent pas sur le signe du résultat quand a est négatif.
| Convention | Formule | −7 mod 3 | Utilisée par |
|---|---|---|---|
| Partie entière (par défaut dans cette calculatrice) | a − n·⌊a/n⌋ | 2 | Python %, mathématiques |
| Tronquée | a − n·trunc(a/n) | −1 | C, Java, JavaScript % |
Exemples détaillés
Dividende négatif
Que vaut −7 mod 3 ?
−7 mod 3 = 2 (partie entière)
Congruence
A-t-on 17 ≡ 5 (mod 6) ?
Oui — les deux membres donnent le même reste
Inverse modulaire
Trouvez 3⁻¹ mod 11.
3⁻¹ ≡ 4 (mod 11)
Définitions clés
- Modulo : a mod n est le reste de la division de a par n, avec 0 ≤ (a mod n) < n pour n > 0 selon la convention de la partie entière.
- Congruence : a ≡ b (mod n) signifie que n divise exactement (a − b) — a et b laissent le même reste.
- Inverse modulaire : a⁻¹ mod n est la valeur x telle que a·x ≡ 1 (mod n) ; il existe exactement lorsque pgcd(a, n) = 1.
- Exponentiation modulaire : aᵇ mod n, calculée par élévations au carré répétées, donc rapide même pour de très grands b.
Par Suhaib Hassan · Vérifié le 29 septembre 2026 · Comment CalculatePilot vérifie ses formules →
Sources
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae, article 1 (la définition de la congruence).
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2 (3e éd.), section 4.5.2 (l’algorithme d’Euclide et les inverses modulaires).
- ISO/IEC 80000-2:2019, article 9 (la fonction partie entière et la division entière).
Questions fréquentes
Pourquoi −7 mod 3 vaut-il 2 et non −1 ?
Selon la convention mathématique (partie entière par défaut), le résultat de a mod n a toujours le même signe que n (ici positif) et reste donc dans [0, n). −7 = 3 × (−3) + 2, ce qui donne un reste de 2. Certains langages de programmation tronquent plutôt vers zéro, ce qui donne −1 — cette calculatrice affiche les deux.
Quand un inverse modulaire n’existe-t-il pas ?
Exactement lorsque pgcd(a, n) ≠ 1 — c’est-à-dire lorsque a et n ont un facteur commun. Par exemple, 4 n’a pas d’inverse modulo 8, puisque pgcd(4, 8) = 4.
Comment calcule-t-on aᵇ mod n pour un très grand exposant b ?
Par exponentiation rapide (binaire) : on élève a au carré modulo n de façon répétée et on multiplie les facteurs correspondant aux chiffres binaires de b, en prenant le modulo à chaque étape. Il ne faut qu’environ log₂(b) multiplications : même un exposant de 1000 chiffres se calcule instantanément.
À quoi sert l’opération modulo ?
À l’arithmétique des horloges et des calendriers, aux tables de hachage, aux sommes de contrôle, à la cryptographie (RSA repose sur l’exponentiation modulaire), aux générateurs de nombres pseudo-aléatoires et au parcours cyclique des indices d’un tableau.
a mod 0 est-il défini ?
Non — la division par zéro est indéfinie, donc a mod 0 n’a pas de valeur. Cette calculatrice le signale comme une erreur au lieu de renvoyer un résultat.
En quoi la congruence diffère-t-elle de l’égalité ?
L’égalité signifie que deux nombres sont identiques. La congruence modulo n est plus faible : elle exige seulement qu’ils laissent le même reste dans la division par n ; une infinité de nombres (…, b−n, b, b+n, b+2n, …) sont donc tous congrus à b.
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